Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Max Müller:

zusammenhängender Bereich, der @ enthält. Zu @ gehöre die
Funktion zu ®* die Funktion Setzt man
so ist in @*
(6) 7*(a;,y)^7(a;,y).
Beweis: In @* — @ ist dies gewiß richtig, weil J*(x,y) nicht
negativ werden kann; für ® folgt es, falls man über Ui die Voraus-
setzungen von Nr. 1 in Anspruch nimmt, aus der Beziehung
SG(X^’~ds+ffG(x>tj;
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= ‘LfJ*l'x’v') — <fe+7 fö <)).
Ohne besondere Voraussetzungen über Di läßt sich die Ungleichung (6)
folgendermaßen beweisen: Wäre nicht im ganzen Bereich @* die Un-
gleichung (6) erfüllt, so gäbe es in ®* eine Stelle ^x0,g0) mitsamt einer
vollen Umgebung 11, so daß in 11
(7)
und auf dem Rand 6 von 11
(8) 7*(z,7) - = 0.
Der Bereich 11 + 6 liegt sicher ganz in ®, denn andernfalls würde für
gewisse Stellen von 11 aus (7) wegen (5) folgen, daß +*(&,«/) <C 0.
In 11 ist also J(x, y) = J(+ y) und somit
J (J* - 7) = d (J* - J) = - 271 + 271 = 0,
d. h. e7* — J ist eine Potentialfunktion in 11; und da dieselbe in 11 + 6
stetig ist und auf 6 nach (8) verschwindet, muß sie im ganzen Gebiet
U verschwinden; das aber steht im Widerspruch zu (7). Der Hilfssatz
ist damit bewiesen.
4. Insbesondere kann man als den kleinsten Kreis nehmen,
in den der Bereich ® eingebettet werden kann. Es ergibt sich dabei
nach dem Hilfssatz und (4) die Abschätzung
wo Ii der Radius dieses Kreises und d der Abstand des Punktes (x,y)
von seinem Mittelpunkt ist.