Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die ÖREENsche Funktion des LAPLAOESchen Differentialausdruckes. 9

daß
n# Co oo
^ = 2^/ 3 v^^-^a/Fßv2)dQ = n y.v\av\^^,
J0 v=i


Fg, ist der Inhalt eines Teilbereiches von 33, der für # —> 1 in 33 über-
geht; Fg wächst dabei monoton; da 33 einen endlichen inneren Inhalt
haben sollte, ist Fg nach oben beschränkt; es existiert also
lim Fg — lim f v I av |2 ^2r ) = v I a» I2 -
#->l $->l \ v=i ' v = i
Geht > 1, so bleibt hiernach auf der rechten Seite von (10) im ersten
Summanden die unendliche Reihe beschränkt, während 1g ä-^-O wandert;
dieser Summand verschwindet also. Im zweiten Summanden ist jedes
Glied höchstens einhalbmal so groß wie das entsprechende in der Reihe
für Fg; daraus folgt die Existenz von

00
(11) lim =
#->i " v = i
und weiterhin die gewünschte Abschätzung
(12)
Für einen einfach zusammenhängenden, von einer Jordankurve
begrenzten Bereich mit endlichem innerem Inhalt ist also J (£, rf)
höchstens gleich der Hälfte des inneren Inhalts.
Das Gleichheitszeichen steht in (12) dann und nur dann, wenn
ap — 0 für r > 1, d. h. wenn
cp (w) = a0 + <z1 w,
d. h. wenn das Gebiet 33 ein Kreis und der Punkt (£, rf) sein Mittel-
punkt ist.
3. Bei dieser Gelegenheit werde bemerkt, daß eine ähnliche Rech-
nung die allgemeinere Formel
= 2 ^=1 (n>0, ganz)
SB P==1V

liefert.