Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die ÜKEENsche Funktion des LAPLACEschen Differentialausdruckes. 13

der Voraussetzung keine umkehrbar eindeutige Abbildung vermitteln
würde. Ist aber etwa w (x, y^ — xv (x, y), so folgt aus den Cauchy-
Riemann sehen Differentialgleichungen, daß
*4 (x, — {x, y) = 0,
xu'x (x,y) + u'y (x,y) = 0’,
die Determinante 1 -|-x2 dieses Gleichungssystems ist von Null ver-
schieden ; also muß ux = u'y = 0, mithin nach den Cauchy-Riemann sehen
Differentialgleichungen auch v'x = vy = 0, d. h. f (#) eine Konstante
sein, was unmöglich ist. Das Gleichheitszeichen kann daher in (16)
nicht vorkommen; aus (15) und (16) folgt somit
I ö'f «/; fo, I < ■1 f'(f°+’’,o) '■

5. Lassen wir fortan die Fußmarke 0 wieder weg, so ergibt sich
nunmehrT), wenn wie in § 3
f (zj — w = zi + iv = q ei
gesetzt wird,
83 S
= |/'/(^ + ^)| | ' I (p' (w) I2 dv
U- V- < 1


co
= 2 n | f' (£ + irj) | r2
v = 1



= 2 tt \f' (f+ ü;)

2r2 | av j2

4- v rjr>
<~\f' (f+iOi^KI2;
ö V = X
das letze Gleichheitszeichen steht nur, falls av = 0 für v > 1, also nur,
falls 53 ein Kreis mit dem Mittelpunkt (£, ??) ist.

Mit Rücksicht auf (11) ist also
(17) Ji&«j)<|ir «+»>?)

!) Eigentlich müßte bei der Integration zunächst eine kleine Umgebung
der Stelle (£, r[) ausgespart und das Integral als uneigentliches behandelt werden.
Doch mag die kürzere Darstellung des Textes genügen.