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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0003
Über die Ränderzuordmmg bei topologischen
Abbildungen in der Ebene und im Raume.
Einleitung.
Die Entwicklung der allgemeinen Primendentheorie1) ermög-
licht uns verschiedene neue Probleme der Ränderzuordnung bei
topologischen Abbildungen der offenen, aus endlich vielen Kom-
ponenten bestehenden Raummengen in Angriff zu nehmen. Die
Randelemente (Primenden) bilden nicht nur die Bausteine der
Gebietsbegrenzungen mit gestaltlich interessanten geometrischen
Eigenschaften, sondern es kommt ihnen bei zahlreichen Abbildungs-
problemen eine grundlegende Rolle zu. Die Primenden regulieren
gewissermaßen die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen.
Den Hauptfragenkomplex unserer Untersuchungen bilden die
Invarianzeigenschaften und -bedingungen der Primenden.
Lassen sich bei einer gegebenen Abbildung A eines Gebietes ®
auf ein Gebiet (b die Primenden der beiden Gebiete umkehrbar ein-
deutig aufeinander zuordnen, wobei die Gesamtheit der Punktfolgen,
welche gegen ein Primende konvergieren2"), in die Gesamtheit aller
Punktfolgen, die gegen das zugeordnete Primende in (b konvergieren,
übergeht, so sprechen wir von der Invarianz der Primenden gegenüber
der Abbildung A und ihrer inversen Abbildung A^1.
Alan muß sich allerdings im klaren bleiben, daß die notwendigen
und hinreichenden Bedingungen der Primendeninvarianz von ver-
T) Vgl. die Heidelberger Dissertation des Verfassers: „Über die Berandung
ebener und räumlicher Gebiete (Primendentheorie)“ Math. Annalen Bd. 103
(S. 70—144), 1930, weiterhin als „Primendentheorie“ (kurz „Pth.“) zitiert. —
Die Kenntnis der Primendentheorie wird im Nachfolgenden nur in sehr beschränk-
tem Maße vorausgesetzt. Es kommt im wesentlichen nm’ auf die Grundbegriffe
(wie unbewallte f-Gesamtheiten, konjugierte f-Mengen usw.) und die Grund-
resultate der Theorie an. Auch von den dort entwickelten Hilfsmitteln, welche
das gleichzeitige Operieren über Folgen (als Elemente von Punktfolgenmengen)
ermöglichen, wird hier nur wenig Gebrauch gemacht. Es sei insbesondere auf
die Einleitung und die §§ 2—6 und 8 der Arbeit hingewiesen.
2) Die gegen das Primende konvergierenden Punktfolgen brauchen an sich
nicht konvergent zu sein.
Abbildungen in der Ebene und im Raume.
Einleitung.
Die Entwicklung der allgemeinen Primendentheorie1) ermög-
licht uns verschiedene neue Probleme der Ränderzuordnung bei
topologischen Abbildungen der offenen, aus endlich vielen Kom-
ponenten bestehenden Raummengen in Angriff zu nehmen. Die
Randelemente (Primenden) bilden nicht nur die Bausteine der
Gebietsbegrenzungen mit gestaltlich interessanten geometrischen
Eigenschaften, sondern es kommt ihnen bei zahlreichen Abbildungs-
problemen eine grundlegende Rolle zu. Die Primenden regulieren
gewissermaßen die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen.
Den Hauptfragenkomplex unserer Untersuchungen bilden die
Invarianzeigenschaften und -bedingungen der Primenden.
Lassen sich bei einer gegebenen Abbildung A eines Gebietes ®
auf ein Gebiet (b die Primenden der beiden Gebiete umkehrbar ein-
deutig aufeinander zuordnen, wobei die Gesamtheit der Punktfolgen,
welche gegen ein Primende konvergieren2"), in die Gesamtheit aller
Punktfolgen, die gegen das zugeordnete Primende in (b konvergieren,
übergeht, so sprechen wir von der Invarianz der Primenden gegenüber
der Abbildung A und ihrer inversen Abbildung A^1.
Alan muß sich allerdings im klaren bleiben, daß die notwendigen
und hinreichenden Bedingungen der Primendeninvarianz von ver-
T) Vgl. die Heidelberger Dissertation des Verfassers: „Über die Berandung
ebener und räumlicher Gebiete (Primendentheorie)“ Math. Annalen Bd. 103
(S. 70—144), 1930, weiterhin als „Primendentheorie“ (kurz „Pth.“) zitiert. —
Die Kenntnis der Primendentheorie wird im Nachfolgenden nur in sehr beschränk-
tem Maße vorausgesetzt. Es kommt im wesentlichen nm’ auf die Grundbegriffe
(wie unbewallte f-Gesamtheiten, konjugierte f-Mengen usw.) und die Grund-
resultate der Theorie an. Auch von den dort entwickelten Hilfsmitteln, welche
das gleichzeitige Operieren über Folgen (als Elemente von Punktfolgenmengen)
ermöglichen, wird hier nur wenig Gebrauch gemacht. Es sei insbesondere auf
die Einleitung und die §§ 2—6 und 8 der Arbeit hingewiesen.
2) Die gegen das Primende konvergierenden Punktfolgen brauchen an sich
nicht konvergent zu sein.