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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0005
Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw.
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Unter einer Kurve C, welche gegen ein Ende Cg des Gebietes 05
konvergiert, verstehen wir eine gegen den Rand konvergierende
Kurve mit der Eigenschaft, daß jede auf ihr liegende und gegen
einen Randpunkt konvergierende Punktfolge auch gegen das Ende
6g konvergiert1).
Enthält die abgeschlossene Hülle C° einer gegen den Rand
konvergierenden Kurve C nur einen einzigen Randpunkt £, so ist
C° das topologische Bild des abgeschlossenen Intervalls xx x 5g x2
und wird ein Einschnitt des Gebietes 05 genannt. Der Punkt £ ist
dann ein erreichbarer Randpunkt.
Wir berücksichtigen jetzt den grundsätzlichen Unterschied
zwischen den a- und ß-Punktfolgen (Pth. § 4). Eine jede Punkt-
folge, welche auf einem Einschnitt liegt und gegen seinen auf dem
Rande liegenden Endpunkt konvergiert, ist immer eine a-Punkt-
folge [Pth. § 13 (1)]. Umgekehrt läßt sich immer ein Einschnitt
konstruieren, welcher eine gegebene a-Punktfolge enthält.
Eine nur a-Punktfolgen enthaltende unbewallte f-Gesamtheit
(Pth. § 4) nennen wir vom a-Typus: Eine solche bestimmt in ein-
deutiger Weise einen (einfach gezählten) erreichbaren Randpunkt.
Die (evtl, zusammenfallenden) Häufungspunkte zweier verschie-
denen unbewallten f-Gesamtheiten vom a-Typus werden immer
als verschiedene erreichbare Randpunkte betrachtet. Zwei Ein-
schnitte, welche gegen einen und denselben erreichbaren Punkt
konvergieren, enthalten immer nur a-Punktfolgen einer und der-
selben f-Gesamtheit. Gehören zwei verschiedene a-Punktfolgen
einer und derselben unbewallten f-Gesamtheit an, so läßt sich
immer ein Einschnitt des Gebietes konstruieren, welcher die
beiden Punktfolgen enthält2).
Wir schicken zunächst die folgenden, für allgemeine Ränder
gültigen Behauptungen voraus:
(1) Eine beliebige, gegen den Rand konvergierende Punkt-
folge Pj, P2, • • . Pn, . . . = (Pn) des Gebietes 05 konvergiert gegen
ein Primende, oder sie enthält zwei verschiedene Teilfolgen, welche
gegen zwei verschiedene Primenden konvergieren.
Konvergiert nämlich die Punktfolge (Pn) nicht gegen ein Prim-
ende, so enthält sie jedenfalls eine Teilfolge P[, P2, . . . P^,. . . = (Pj,
welche gegen ein Primende E[ (von der Ordnung t) konvergiert,
1) D. h.: bis auf einen einfachen Bogen verläuft die Kurve C innerhalb eines,
jeden Gebietes einer jeden das Ende €g bestimmenden Gebietskette.
2) Man vergleiche dazu insbesondere die Ausführung in § 3 Ziff. 8.
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Unter einer Kurve C, welche gegen ein Ende Cg des Gebietes 05
konvergiert, verstehen wir eine gegen den Rand konvergierende
Kurve mit der Eigenschaft, daß jede auf ihr liegende und gegen
einen Randpunkt konvergierende Punktfolge auch gegen das Ende
6g konvergiert1).
Enthält die abgeschlossene Hülle C° einer gegen den Rand
konvergierenden Kurve C nur einen einzigen Randpunkt £, so ist
C° das topologische Bild des abgeschlossenen Intervalls xx x 5g x2
und wird ein Einschnitt des Gebietes 05 genannt. Der Punkt £ ist
dann ein erreichbarer Randpunkt.
Wir berücksichtigen jetzt den grundsätzlichen Unterschied
zwischen den a- und ß-Punktfolgen (Pth. § 4). Eine jede Punkt-
folge, welche auf einem Einschnitt liegt und gegen seinen auf dem
Rande liegenden Endpunkt konvergiert, ist immer eine a-Punkt-
folge [Pth. § 13 (1)]. Umgekehrt läßt sich immer ein Einschnitt
konstruieren, welcher eine gegebene a-Punktfolge enthält.
Eine nur a-Punktfolgen enthaltende unbewallte f-Gesamtheit
(Pth. § 4) nennen wir vom a-Typus: Eine solche bestimmt in ein-
deutiger Weise einen (einfach gezählten) erreichbaren Randpunkt.
Die (evtl, zusammenfallenden) Häufungspunkte zweier verschie-
denen unbewallten f-Gesamtheiten vom a-Typus werden immer
als verschiedene erreichbare Randpunkte betrachtet. Zwei Ein-
schnitte, welche gegen einen und denselben erreichbaren Punkt
konvergieren, enthalten immer nur a-Punktfolgen einer und der-
selben f-Gesamtheit. Gehören zwei verschiedene a-Punktfolgen
einer und derselben unbewallten f-Gesamtheit an, so läßt sich
immer ein Einschnitt des Gebietes konstruieren, welcher die
beiden Punktfolgen enthält2).
Wir schicken zunächst die folgenden, für allgemeine Ränder
gültigen Behauptungen voraus:
(1) Eine beliebige, gegen den Rand konvergierende Punkt-
folge Pj, P2, • • . Pn, . . . = (Pn) des Gebietes 05 konvergiert gegen
ein Primende, oder sie enthält zwei verschiedene Teilfolgen, welche
gegen zwei verschiedene Primenden konvergieren.
Konvergiert nämlich die Punktfolge (Pn) nicht gegen ein Prim-
ende, so enthält sie jedenfalls eine Teilfolge P[, P2, . . . P^,. . . = (Pj,
welche gegen ein Primende E[ (von der Ordnung t) konvergiert,
1) D. h.: bis auf einen einfachen Bogen verläuft die Kurve C innerhalb eines,
jeden Gebietes einer jeden das Ende €g bestimmenden Gebietskette.
2) Man vergleiche dazu insbesondere die Ausführung in § 3 Ziff. 8.