Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw.

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Die Bedingung ist notwendig: Es sei A eine topologische
Abbildung des Gebietes ® auf welche nebst der inversen
Abbildung A—1 die Primenden der beiden Gebiete umkehrbar ein-
deutig (im Sinne ihrer Invarianz) zuordnet. Es sei Eg ein Primende
des Gebietes ® und Eg das ihm zugeordnete Primende von
Würde die Bildkurve C einer gegen Eg konvergierenden Kurve C
nicht gegen Eg konvergieren, so gäbe es auf C mindestens eine
Punktfolge, welche gegen den Rand T des Gebietes ® konvergiert,
ohne gleichzeitig gegen das Primende Eg zu konvergieren. Dies
widerspricht offenbar der Invarianzeigenschaft der Primenden
gegenüber der Abbildung A. Eine ganz entsprechende Überlegung
gilt natürlich auch dann, wenn wir vom Gebiet ® und der Abbil-
dung A—1 ausgehen.
Die Bedingung ist hinreichend: Es sei A = Aa eine
topologische Abbildung des Gebietes ® auf ein Gebiet (h, welche
nebst der dazugehörigen inversen Abbildung Ap1 den Voraus-
setzungen unseres Satzes genügt. Angenommen, die Primenden
sind gegenüber der Abbildung Aa oder der Abbildung Ap1 nicht
invariant. Unter Berücksichtigung von (1) können wir sodann die
beiden folgenden Fälle unterscheiden:
1. Es existieren zwei verschiedene Primenden Eg und Eg
des Bildbereiches & mit der Eigenschaft, daß eine gegen Eg kon-
vergierende Punktfolge Pf, Pf, . . . Pf, . . . = (Pf) und eine gegen
Eg konvergierende Punktfolge Pf, Pg, . . . P£, . . . = (Pf) Bild-
punktfolgen zweier gegen ein und dasselbe Primende Eg konver-
gierender Punktfolgen (Pf) und (Pf) sind. Nach (2) können wir
eine gegen das Primende Eg konvergierende Kurve C bestimmen,
welche die beiden Punktfolgen (Pf) und (Pf) enthält. In Wider-
spruch zu der in bezug auf Aa gemachten Voraussetzung konver-
giert die Bildpunktfolge C nicht gegen ein Primende.
Ein ganz ähnlicher Widerspruch ergibt sich sofort, wenn wir
annehmen, daß die Bildpunktfolge einer gegen ein Primende von
® konvergierenden Punktfolge nicht gegen ein Primende von @
konvergiert.
2. Es existiert ein Primende Eg des Gebietes gegen welches
zwei Punktfolgen ÖJ, Öf, ... Öf, . . . = (Öf) und Öf, Öf, . . . Öf,
• • • = (Of) konvergieren, deren Urbildpunktfolgen (Of) und (Of)