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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0010
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Boris Kaufmann :
für jedes v = 1, 2, ... gelten, wobei wir unter &'v das durch R„ zugeord-
netes Q' bestimmte Teilgebiet der Kette verstehen. Für jedes v wählen
wir jetzt einen Punkt 3r innerhalb 11 (R-,) • ($' und einen Punkt 3*
innerhalb 11 (R„) • &*. Es ist leicht ersichtlich, daß die beiden
gegen £ konvergierenden Punktfolgen 3v $2, • • • 3v> • • • bzw. Q*,
3*> • • • 3*> • • • [nebst der Punktfolge (Rr)J einer und derselben
unbewallten f-Gesamtheit angehören und insbesondere auch zu-
einander konjugiert sein müssen: bezeichnen wir nämlich mit s„
einen das Punktepaar (3„, 3*) innerhalb 11 (R„) verbindenden
Streckenzug, so muß das Streckenzugsystem S = s15 s2, ... s„, . . .
ausgezeichnet sein. Jetzt bemerken wir, daß die Punktfolge (3„)
(bis auf unendlich viele Punkte) in jedem Gebiet enthalten ist,
somit also gegen das Primende Eg konvergiert, während dies für
die außerhalb liegende Punktfolge (3*) nicht zutrifft.
Nach einem bekannten Satz der Primendentheorie (Korollar
zum Satz VIII, § 10) enthält die Punktfolge (3„) eine Teilfolge
SO • • • SO • • • = (30, welche in der konjugierten Ausgangs-
menge A eines Komplexes Zlx erster Ordnung enthalten ist. Die
Punktfolge (3t) enthält eine zur Punktfolge (30 konjugierte Teil-
folge 3i \ 3*t • • • 3Ü0 • • • Riese letztere muß ebenfalls in Ar ent-
halten sein. Andererseits ist aber die Punktfolge (30 in dem mit
der normierten f-Menge des Primendes Eg identischen, vollkommen
gesättigten Komplex Ar enthalten. Es gilt somit Ax • Ar =%= o, woraus
sofort die Beziehung Ar < AT folgt. Es müßte also eine außerhalb
liegende Punktfolge (3t) in AT enthalten sein, was offenbar
unmöglich ist.
Aus dem bewiesenen Hilfssatz gewinnen wir unmittelbar die
nachfolgenden Behauptungen.
Folgerung 1. Ist Eg ein beliebiges Primende und (®J bzw.
(QQ die entsprechenden, das Primende bestimmenden Gebiets-
und Querschnittsketten, so gibt es für jedes v = v0 einen ersten
Wert vx > v0 so, daß die Beziehung
@r0 > @ (P = 1, 2, . . .)
gilt.
Wäre dies nicht der Fall, so müßte wegen der Beziehung
welche für jedes v0 und > v0 gilt, für gewisse un-
endlich viele Werte v die Beziehung
® — ®r0) • (<0+, • ® + o
gelten. Diese Beziehung besagt aber, daß der bestimmende
Boris Kaufmann :
für jedes v = 1, 2, ... gelten, wobei wir unter &'v das durch R„ zugeord-
netes Q' bestimmte Teilgebiet der Kette verstehen. Für jedes v wählen
wir jetzt einen Punkt 3r innerhalb 11 (R-,) • ($' und einen Punkt 3*
innerhalb 11 (R„) • &*. Es ist leicht ersichtlich, daß die beiden
gegen £ konvergierenden Punktfolgen 3v $2, • • • 3v> • • • bzw. Q*,
3*> • • • 3*> • • • [nebst der Punktfolge (Rr)J einer und derselben
unbewallten f-Gesamtheit angehören und insbesondere auch zu-
einander konjugiert sein müssen: bezeichnen wir nämlich mit s„
einen das Punktepaar (3„, 3*) innerhalb 11 (R„) verbindenden
Streckenzug, so muß das Streckenzugsystem S = s15 s2, ... s„, . . .
ausgezeichnet sein. Jetzt bemerken wir, daß die Punktfolge (3„)
(bis auf unendlich viele Punkte) in jedem Gebiet enthalten ist,
somit also gegen das Primende Eg konvergiert, während dies für
die außerhalb liegende Punktfolge (3*) nicht zutrifft.
Nach einem bekannten Satz der Primendentheorie (Korollar
zum Satz VIII, § 10) enthält die Punktfolge (3„) eine Teilfolge
SO • • • SO • • • = (30, welche in der konjugierten Ausgangs-
menge A eines Komplexes Zlx erster Ordnung enthalten ist. Die
Punktfolge (3t) enthält eine zur Punktfolge (30 konjugierte Teil-
folge 3i \ 3*t • • • 3Ü0 • • • Riese letztere muß ebenfalls in Ar ent-
halten sein. Andererseits ist aber die Punktfolge (30 in dem mit
der normierten f-Menge des Primendes Eg identischen, vollkommen
gesättigten Komplex Ar enthalten. Es gilt somit Ax • Ar =%= o, woraus
sofort die Beziehung Ar < AT folgt. Es müßte also eine außerhalb
liegende Punktfolge (3t) in AT enthalten sein, was offenbar
unmöglich ist.
Aus dem bewiesenen Hilfssatz gewinnen wir unmittelbar die
nachfolgenden Behauptungen.
Folgerung 1. Ist Eg ein beliebiges Primende und (®J bzw.
(QQ die entsprechenden, das Primende bestimmenden Gebiets-
und Querschnittsketten, so gibt es für jedes v = v0 einen ersten
Wert vx > v0 so, daß die Beziehung
@r0 > @ (P = 1, 2, . . .)
gilt.
Wäre dies nicht der Fall, so müßte wegen der Beziehung
welche für jedes v0 und > v0 gilt, für gewisse un-
endlich viele Werte v die Beziehung
® — ®r0) • (<0+, • ® + o
gelten. Diese Beziehung besagt aber, daß der bestimmende