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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0011
Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw. 11
Querschnitt Punkte unendlich vieler Querschnitte der Ivette (Q„)
enthalten müßte, was nach dem Hilfssatz 1 unmöglich ist.
Folgerung 2. Bestimmt eine Querschnittskette (Q„) ein Primende
Eg, so konvergiert eine jede in der Kette (Q„) gegen ihr Grenzgebilde
konvergierende Punktfolge auch gegen Eg.
Diese Behauptung folgt unmittelbar aus der Folgerung 1.
Folgerung 3. Eine Punktfolge (Pn) des Gebietes welche
gegen den Rand, aber nicht gegen ein durch die Gebietskette (®r)
bestimmtes Primende Eg konvergiert, enthält immer eine Teil-
folge, welche ganz außerhalb eines ersten abgeschlossenen Gebietes
der Kette liegt.
Auch diese Behauptung ergibt sich unmittelbar aus der Folge-
rung 1.
Es sei schließlich noch hervorgehoben, daß der Hilfssatz 1
noch verschärft werden kann, indem gezeigt wird, daß unendlich
viele Querschnitte einer ein Primende bestimmenden Querschnitts-
kette niemals Punktfolgen einer und derselben unbewallten f-Ge-
samtheit enthalten können.
5. Ein Satz über die Kurven am Bande. Unter Benutzung des
Hilfssatzes 1 beweisen wir jetzt den folgenden wichtigen Hilfssatz.
Hilfssatz 2. Es sei C eine gegen den Band konvergierende Kurve
im Gebiet ® mit der Eigenschaft, daß die Gesamtheit aller a-Punkt-
folgen, welche auf der Kurve C liegen, gegen ein und dasselbe Primende
Eg konvergiert. Ist leer, so sei Eg jedenfalls ein Primende, gegen
welches mindestens eine Punktfolge auf G konvergiert. Wir behaupten,
die Kurve C konvergiert gegen das Primende Eg.
Es sei . . . &v, . . . die das Primende Eg bestimmende
Gebietskette und Qx, Q2, . . . Qy, . . . die entsprechende Quer-
schnittskette. Ox, O2, . . . On, . . . = (On) sei eine beliebige, gegen
einen Randpunkt konvergierende Punktfolge auf C. -— Angenommen,
die Punktfolge (On) konvergiert nicht gegen das Primende Eg.
Nach der Folgerung 3 aus dem Hilfssatz 1 existiert ein hinreichend
großer Wert v = v0 mit der Eigenschaft, daß eine unendliche Teil-
folge Op Og, . . . 0^, . . . = (0^) der Punktfolge (On) ganz außer-
halb des abgeschlossenen Gebietes G°o hegt. (0^) ist offenbar
eine ß-Punktfolge, da ja sämtliche auf C liegenden a-Punktfolgen
wesentlich in jedem Gebiet enthalten sein müssen.
Es sei Oj*, Og*, • • • 0'*, . . . = (0^*) eine normierte Teilfolge
der Punktfolge (0„), welche in der konjugierten Ausgangsmenge A
eines Komplexes Ax erster Ordnung enthalten ist (Pth. § 10, Korollar
Querschnitt Punkte unendlich vieler Querschnitte der Ivette (Q„)
enthalten müßte, was nach dem Hilfssatz 1 unmöglich ist.
Folgerung 2. Bestimmt eine Querschnittskette (Q„) ein Primende
Eg, so konvergiert eine jede in der Kette (Q„) gegen ihr Grenzgebilde
konvergierende Punktfolge auch gegen Eg.
Diese Behauptung folgt unmittelbar aus der Folgerung 1.
Folgerung 3. Eine Punktfolge (Pn) des Gebietes welche
gegen den Rand, aber nicht gegen ein durch die Gebietskette (®r)
bestimmtes Primende Eg konvergiert, enthält immer eine Teil-
folge, welche ganz außerhalb eines ersten abgeschlossenen Gebietes
der Kette liegt.
Auch diese Behauptung ergibt sich unmittelbar aus der Folge-
rung 1.
Es sei schließlich noch hervorgehoben, daß der Hilfssatz 1
noch verschärft werden kann, indem gezeigt wird, daß unendlich
viele Querschnitte einer ein Primende bestimmenden Querschnitts-
kette niemals Punktfolgen einer und derselben unbewallten f-Ge-
samtheit enthalten können.
5. Ein Satz über die Kurven am Bande. Unter Benutzung des
Hilfssatzes 1 beweisen wir jetzt den folgenden wichtigen Hilfssatz.
Hilfssatz 2. Es sei C eine gegen den Band konvergierende Kurve
im Gebiet ® mit der Eigenschaft, daß die Gesamtheit aller a-Punkt-
folgen, welche auf der Kurve C liegen, gegen ein und dasselbe Primende
Eg konvergiert. Ist leer, so sei Eg jedenfalls ein Primende, gegen
welches mindestens eine Punktfolge auf G konvergiert. Wir behaupten,
die Kurve C konvergiert gegen das Primende Eg.
Es sei . . . &v, . . . die das Primende Eg bestimmende
Gebietskette und Qx, Q2, . . . Qy, . . . die entsprechende Quer-
schnittskette. Ox, O2, . . . On, . . . = (On) sei eine beliebige, gegen
einen Randpunkt konvergierende Punktfolge auf C. -— Angenommen,
die Punktfolge (On) konvergiert nicht gegen das Primende Eg.
Nach der Folgerung 3 aus dem Hilfssatz 1 existiert ein hinreichend
großer Wert v = v0 mit der Eigenschaft, daß eine unendliche Teil-
folge Op Og, . . . 0^, . . . = (0^) der Punktfolge (On) ganz außer-
halb des abgeschlossenen Gebietes G°o hegt. (0^) ist offenbar
eine ß-Punktfolge, da ja sämtliche auf C liegenden a-Punktfolgen
wesentlich in jedem Gebiet enthalten sein müssen.
Es sei Oj*, Og*, • • • 0'*, . . . = (0^*) eine normierte Teilfolge
der Punktfolge (0„), welche in der konjugierten Ausgangsmenge A
eines Komplexes Ax erster Ordnung enthalten ist (Pth. § 10, Korollar