DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0015
Über clie Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw. 15
8. Sonder fall der Primenden mit höchstens einem erreichbaren
Punkt. Nur in einem, vom allgemeinen Standpunkt zwar engen,
aber dennoch wichtigen Sonderfall läßt sich der erwähnte Satz
auf die früheren Betrachtungen leicht zurückführen: im Falle solcher
Bereiche (® und ®), deren Bandelemente höchstens einen einzigen
(einfach gezählten) erreichbaren Punkt enthalten.
Es sei zunächst erwähnt, daß eine der wichtigsten Eigenschaften
solcher Primenden darin besteht, daß sie von höchstens zweiter
Ordnung sind1).
Dies ergibt sich sofort aus einem Grundsatz der Primenden-
theorie, nämlich aus dem Satze XII (Pth. § 12). Wäre nämlich
ein solches Primende von höherer (als zweiter) Ordnung, so müßte
der das Primende bestimmende, vollkommen gesättigte Komplex
mindestens zwei verschiedene unbewallte f-Gesamtheiten vom a-
Tvpus enthalten. Das Primende müßte also zwei verschiedene
erreichbare Punkte enthalten.
Bevor wir für den hier festgelegten Sonderfall den erwähnten
Invarianzsatz betrachten, beweisen wir die folgende beliebige
Gebiete allgemeinster Art betreffende Invarianzeigenschaft der
Abbildung Ac.
Wir wollen zeigen, daß die unbewallten f-Gesamtheiten vom
a-Typus und somit auch die erreichbaren Bandpunkte der beiden
Gebiete & und ® gegenüber den Abbildungen Ac und Ä~x invariant
bleiben.
Zum Beweis dieser Behauptung gelangen wir am schnellsten
unter Zuhilfenahme eines dem Ende sehr nahe verwandten (all-
gemeineren) Gebildes. — Eine ineinandergeschachtelte Folge durch
Querschnitte bestimmter Teilgebiete > • • • > • ■ • =
bestimmt in eindeutiger Weise ein Ende. Sehen wir nun von
der Forderung, wonach die Teilgebiete der Folge (§„) durch
Querschnitte bestimmt werden sollen, ab, so läßt sich dennoch
die Definition des Endes auf eine solche Gebietskette übertragen.
Ein so definiertes Gebilde wollen wir das ,,Endgebilde“ der Ge-
bietskette (*pr) nennen. Wir sagen: eine Punktfolge konvergiert
gegen das Endgebilde, falls fast alle ihre Punkte in jedem Gebiet
x) Es sei bei dieser Gelegenheit noch hervorgehoben, daß die Primenden,
welche höchstens einen (einfach gezählten) erreichbaren Punkt enthalten, im
Raume von jeder der möglichen sechs Arten sein können. Insbesondere existieren,
wie an Beispielen gezeigt werden kann, im Raume auch Primenden fünfter und
sechster Art, welche nm' einen einzigen erreichbaren Punkt enthalten.
8. Sonder fall der Primenden mit höchstens einem erreichbaren
Punkt. Nur in einem, vom allgemeinen Standpunkt zwar engen,
aber dennoch wichtigen Sonderfall läßt sich der erwähnte Satz
auf die früheren Betrachtungen leicht zurückführen: im Falle solcher
Bereiche (® und ®), deren Bandelemente höchstens einen einzigen
(einfach gezählten) erreichbaren Punkt enthalten.
Es sei zunächst erwähnt, daß eine der wichtigsten Eigenschaften
solcher Primenden darin besteht, daß sie von höchstens zweiter
Ordnung sind1).
Dies ergibt sich sofort aus einem Grundsatz der Primenden-
theorie, nämlich aus dem Satze XII (Pth. § 12). Wäre nämlich
ein solches Primende von höherer (als zweiter) Ordnung, so müßte
der das Primende bestimmende, vollkommen gesättigte Komplex
mindestens zwei verschiedene unbewallte f-Gesamtheiten vom a-
Tvpus enthalten. Das Primende müßte also zwei verschiedene
erreichbare Punkte enthalten.
Bevor wir für den hier festgelegten Sonderfall den erwähnten
Invarianzsatz betrachten, beweisen wir die folgende beliebige
Gebiete allgemeinster Art betreffende Invarianzeigenschaft der
Abbildung Ac.
Wir wollen zeigen, daß die unbewallten f-Gesamtheiten vom
a-Typus und somit auch die erreichbaren Bandpunkte der beiden
Gebiete & und ® gegenüber den Abbildungen Ac und Ä~x invariant
bleiben.
Zum Beweis dieser Behauptung gelangen wir am schnellsten
unter Zuhilfenahme eines dem Ende sehr nahe verwandten (all-
gemeineren) Gebildes. — Eine ineinandergeschachtelte Folge durch
Querschnitte bestimmter Teilgebiete > • • • > • ■ • =
bestimmt in eindeutiger Weise ein Ende. Sehen wir nun von
der Forderung, wonach die Teilgebiete der Folge (§„) durch
Querschnitte bestimmt werden sollen, ab, so läßt sich dennoch
die Definition des Endes auf eine solche Gebietskette übertragen.
Ein so definiertes Gebilde wollen wir das ,,Endgebilde“ der Ge-
bietskette (*pr) nennen. Wir sagen: eine Punktfolge konvergiert
gegen das Endgebilde, falls fast alle ihre Punkte in jedem Gebiet
x) Es sei bei dieser Gelegenheit noch hervorgehoben, daß die Primenden,
welche höchstens einen (einfach gezählten) erreichbaren Punkt enthalten, im
Raume von jeder der möglichen sechs Arten sein können. Insbesondere existieren,
wie an Beispielen gezeigt werden kann, im Raume auch Primenden fünfter und
sechster Art, welche nm' einen einzigen erreichbaren Punkt enthalten.