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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0017
Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw. 17
in enthalten wäre. Nun können wir nach dem Verfahren (2)
Ziffer 1 einen Einschnitt t* im Gebiet & konstruieren, welcher
eine unendliche Teilfolge von (Pn) und eine unendliche Teilfolge
der Urbildpunktfolge (0n) von (Ön) enthält. Der Einschnitt t*
geht bei der Abbildung Ac in einen gegen einen Randpunkt £ von ®
konvergierenden Einschnitt t~. über, wobei jede auf ihm liegende
a-Punktfolge in enthalten sein muß. Wir erhalten somit einen
Widerspruch, aus welchem sofort die Beziehung A (Pf) s Pf folgt. -—
Um zu zeigen, daß die Gesamtheit der Urbildpunktfolgen A^1 (Pf)
der Gesamtheit Pf in Pf enthalten sein muß, wiederholen wir die-
selbe Betrachtung in bezug auf die inverse-Abbildung A“1. Damit
wird gezeigt, daß jede unbewallte f-Gesamtheit vom a-Typus in
& durch die Abbildung Ac in eine unbewallte f-Gesamtheit des
Gebietes 05 übergeht. — Berücksichtigen -wir jetzt, daß laut Voraus-
setzung sämtliche Einschnitte in ® in bezug auf die inverse Ab-
bildung Ajü1 erhalten bleiben, so können wir uns durch eine
inverse Betrachtung leicht überzeugen, daß auch, umgekehrt, jeder
unbewallten f-Gesamtheit vom a-Typus des Gebietes G5 durch die
Abbildung Ap"1 eine unbewallte f-Gesamtheit des Gebietes Qi zu-
geordnet wird1).
Aus der bewiesenen Behauptung ergibt sich sofort die Fol-
gerung :
Die durch Ac gelieferten Bildeinschnitte zweier gegen einen
und denselben (einfach gezählten) erreichbaren Punkt von Qi kon-
vergierenden Einschnitte konvergieren ebenfalls gegen einen er-
reichbaren Punkt des Bildbereiches Qi.
Wir kehren jetzt zur Betrachtung der Bereiche, deren Rand-
elemente höchstens einen erreichbaren Punkt enthalten, zurück..
Die Gesamtheit aller a-Punktfolgen, welche gegen irgendein Prim-
ende eines solchen Bereiches konvergieren, bildet eine unbewallte
f-Gesamtheit. Sämtliche gegen ein und dasselbe Primende von Qi
(bzw. Qi) konvergierenden Einschnitte konvergieren gegen einen
und denselben erreichbaren Punkt. Nach der Folgerung aus der
x) Zum Unterschied von den Invarianzsätzen I und II ist hier eine noch-
malige, allerdings ganz analog verlaufende Betrachtung notwendig. Dies ergibt
sich daraus, daß dort die Gesamtheit der gegenüber Aa und A^ invarianten
Primenden sämtliche gegen den Rand konvergierende Punktfolgen umfaßt,,
während es sich hier im allgemeinen nur um einen Teil dieser Punktfolgen handelt.
in enthalten wäre. Nun können wir nach dem Verfahren (2)
Ziffer 1 einen Einschnitt t* im Gebiet & konstruieren, welcher
eine unendliche Teilfolge von (Pn) und eine unendliche Teilfolge
der Urbildpunktfolge (0n) von (Ön) enthält. Der Einschnitt t*
geht bei der Abbildung Ac in einen gegen einen Randpunkt £ von ®
konvergierenden Einschnitt t~. über, wobei jede auf ihm liegende
a-Punktfolge in enthalten sein muß. Wir erhalten somit einen
Widerspruch, aus welchem sofort die Beziehung A (Pf) s Pf folgt. -—
Um zu zeigen, daß die Gesamtheit der Urbildpunktfolgen A^1 (Pf)
der Gesamtheit Pf in Pf enthalten sein muß, wiederholen wir die-
selbe Betrachtung in bezug auf die inverse-Abbildung A“1. Damit
wird gezeigt, daß jede unbewallte f-Gesamtheit vom a-Typus in
& durch die Abbildung Ac in eine unbewallte f-Gesamtheit des
Gebietes 05 übergeht. — Berücksichtigen -wir jetzt, daß laut Voraus-
setzung sämtliche Einschnitte in ® in bezug auf die inverse Ab-
bildung Ajü1 erhalten bleiben, so können wir uns durch eine
inverse Betrachtung leicht überzeugen, daß auch, umgekehrt, jeder
unbewallten f-Gesamtheit vom a-Typus des Gebietes G5 durch die
Abbildung Ap"1 eine unbewallte f-Gesamtheit des Gebietes Qi zu-
geordnet wird1).
Aus der bewiesenen Behauptung ergibt sich sofort die Fol-
gerung :
Die durch Ac gelieferten Bildeinschnitte zweier gegen einen
und denselben (einfach gezählten) erreichbaren Punkt von Qi kon-
vergierenden Einschnitte konvergieren ebenfalls gegen einen er-
reichbaren Punkt des Bildbereiches Qi.
Wir kehren jetzt zur Betrachtung der Bereiche, deren Rand-
elemente höchstens einen erreichbaren Punkt enthalten, zurück..
Die Gesamtheit aller a-Punktfolgen, welche gegen irgendein Prim-
ende eines solchen Bereiches konvergieren, bildet eine unbewallte
f-Gesamtheit. Sämtliche gegen ein und dasselbe Primende von Qi
(bzw. Qi) konvergierenden Einschnitte konvergieren gegen einen
und denselben erreichbaren Punkt. Nach der Folgerung aus der
x) Zum Unterschied von den Invarianzsätzen I und II ist hier eine noch-
malige, allerdings ganz analog verlaufende Betrachtung notwendig. Dies ergibt
sich daraus, daß dort die Gesamtheit der gegenüber Aa und A^ invarianten
Primenden sämtliche gegen den Rand konvergierende Punktfolgen umfaßt,,
während es sich hier im allgemeinen nur um einen Teil dieser Punktfolgen handelt.