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https://doi.org/10.11588/diglit.43609#0019
Über die Ränderzuordnung bei topologischen Abbildungen usw. 19
kann, an Stelle der üblichen, für den Fall des dreidimensionalen
Raumes wenig geeigneten und zweckmäßigen Definition der all-
seitig erreichbaren Randpunkte. Dadurch wird nämlich die Heran-
ziehung der weniger einfachen räumlichen Querschnitte für die
Definition der allseitigen Erreichbarkeit vermieden1).
10. Schlußbetrachtung. Abbildung auf die Vollkugel. Unter den
Abbildungsproblemen, welche durch die Entwicklung der allge-
meinen Primendentheorie aktuell geworden sind, nimmt das eine
eine besonders hervorragende Stelle ein: die Frage nach den Ab-
bildungen räumlicher Bereiche auf die Vollkugel und nach dem
Verhalten der Randelemente bei solchen Abbildungen.
In dieser Hinsicht ist uns bereits ein grundsätzliches Resultat
gelungen, wonach bei Abbildungen, welche verschiedene
erreichbare Punkte in verschiedene Kugelpunkte über-
führen, alle Primendenbilder (Punkte oder Continua)
auf der Kugel zueinander paarweise fremd sein müssen.
Dieser Satz, welcher sich ebenfalls aus den Grundeigenschaften
der Komplexe ergibt, wird in einer besonderen Arbeit bewiesen
werden.
Wir müssen uns allerdings im klaren bleiben, daß durch unsere
Untersuchungen die Kernprobleme der Abbildung offener Raum-
mengen zwar stark beleuchtet und zum Teil gelöst werden, daß aber
dadurch die außerordentlich schwierige Aufgabe der tatsäch-
lichen Durchführung der Abbildungen noch ungelöst bleibt.
Als Hauptaufgabe muß zunächst die tatsächliche Durchführung
der Abbildung der einfach zusammenhängenden räumlichen Be-
reiche auf das Kugelinnere, bei welchem die Primendenbilder zu-
einander fremd bleiben, betrachtet werden. Von der Lösung dieser
Aufgabe unter möglichst allgemeinen Bedingungen sind wir gegen-
wärtig, sogar im einfachsten Fall der Bereiche, deren Randelemente
diskrete Punkte sind, noch weit entfernt2). Die Förderung dieser
Probleme dürfte unseres Erachtens als eine der wichtigsten zu-
künftigen Aufgaben der räumlichen Topologie betrachtet werden.
x) Vgl. den II. Teil des Jahresberichtes der d. Math. Vereinigung von
A. Schönflies (Erg.-Bd. II, 1908, Kap. V § 10 [S. 176] und § 19 [S. 197]). Die
Schönflies sehe Übertragung des Begriffes der allseitigen Erreichbarkeit bildet
eigentlich kein Analogon zu dem sonst geläufigen wichtigen Begriff in der Ebene.
2) Man denke etwa an das Verhalten bei der Abbildung auf das Kugelinnere
solcher Bereiche, deren Randteile (relativ zu gewissen Umgebungen) eindimensional
■sind, wie z. B. im Falle einer Kugel mit ,,Stachel“.
kann, an Stelle der üblichen, für den Fall des dreidimensionalen
Raumes wenig geeigneten und zweckmäßigen Definition der all-
seitig erreichbaren Randpunkte. Dadurch wird nämlich die Heran-
ziehung der weniger einfachen räumlichen Querschnitte für die
Definition der allseitigen Erreichbarkeit vermieden1).
10. Schlußbetrachtung. Abbildung auf die Vollkugel. Unter den
Abbildungsproblemen, welche durch die Entwicklung der allge-
meinen Primendentheorie aktuell geworden sind, nimmt das eine
eine besonders hervorragende Stelle ein: die Frage nach den Ab-
bildungen räumlicher Bereiche auf die Vollkugel und nach dem
Verhalten der Randelemente bei solchen Abbildungen.
In dieser Hinsicht ist uns bereits ein grundsätzliches Resultat
gelungen, wonach bei Abbildungen, welche verschiedene
erreichbare Punkte in verschiedene Kugelpunkte über-
führen, alle Primendenbilder (Punkte oder Continua)
auf der Kugel zueinander paarweise fremd sein müssen.
Dieser Satz, welcher sich ebenfalls aus den Grundeigenschaften
der Komplexe ergibt, wird in einer besonderen Arbeit bewiesen
werden.
Wir müssen uns allerdings im klaren bleiben, daß durch unsere
Untersuchungen die Kernprobleme der Abbildung offener Raum-
mengen zwar stark beleuchtet und zum Teil gelöst werden, daß aber
dadurch die außerordentlich schwierige Aufgabe der tatsäch-
lichen Durchführung der Abbildungen noch ungelöst bleibt.
Als Hauptaufgabe muß zunächst die tatsächliche Durchführung
der Abbildung der einfach zusammenhängenden räumlichen Be-
reiche auf das Kugelinnere, bei welchem die Primendenbilder zu-
einander fremd bleiben, betrachtet werden. Von der Lösung dieser
Aufgabe unter möglichst allgemeinen Bedingungen sind wir gegen-
wärtig, sogar im einfachsten Fall der Bereiche, deren Randelemente
diskrete Punkte sind, noch weit entfernt2). Die Förderung dieser
Probleme dürfte unseres Erachtens als eine der wichtigsten zu-
künftigen Aufgaben der räumlichen Topologie betrachtet werden.
x) Vgl. den II. Teil des Jahresberichtes der d. Math. Vereinigung von
A. Schönflies (Erg.-Bd. II, 1908, Kap. V § 10 [S. 176] und § 19 [S. 197]). Die
Schönflies sehe Übertragung des Begriffes der allseitigen Erreichbarkeit bildet
eigentlich kein Analogon zu dem sonst geläufigen wichtigen Begriff in der Ebene.
2) Man denke etwa an das Verhalten bei der Abbildung auf das Kugelinnere
solcher Bereiche, deren Randteile (relativ zu gewissen Umgebungen) eindimensional
■sind, wie z. B. im Falle einer Kugel mit ,,Stachel“.