Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Ernst Jänecke:

teile sind für die gleichartig liegenden Gemische P und Q durch die
Werte a, b, c bzw. a', b', c' angezeigt, wobei: a : b : c — a' :b' :c' ist.
Dieses ist die Folge der ,,senkrechten“ Projektion. A Cm, B Cm, D Cm
und A En, B En, D En sind, ohne es sein zu müssen, als chemische
Verbindungen geschrieben, indem A, B, C, D und E als chemische
Elemente aufgefaßt sind. Die Formeln stellen im allgemeinen nur
Gemische dar. Durch eine einfache Umformung läßt sich Punkt B
auch in ein reguläres dreiseitiges Prisma oder Tetraeder verlegen.
Besonders zu betrachten sind die Ebenen im vierdimensionalen
Fünfzell. Da eine Ebene eine Gerade in einem Punkte, eine andere
Ebene in einer Geraden und einen Körper in einer Fläche durch-
schneidet, wird ein vierdimensionales Gebilde von einer Ebene in
einem Körper durchschnitten. Die Eckpunkte solcher Körper
müssen also als auf einer Ebene im vierdimensionalen Kaum, einer
,,Hyperebene“, liegend aufgefaßt werden. Wie also ein reguläres
Tetraeder, von einer Ebene geschnitten, zu ebenen, .zweidimensio-
nalen Schnittfiguren (Dreiecken und Vierecken) führt, schneidet
eine Hyperebene das vierdimensionale Fünfzell unter Bildung von
bestimmten Körpern (Tetraedern usw.). Daß die Eckpunkte dieser
Körper auf einer Ebene im vierdimensionalen Raume (Hyperebene)
liegen, ist kein Widerspruch mit der Tatsache, daß im dreidimensio-
nalen Raum Eckpunkte eines räumlichen Gebildes, eines Körpers,
dieses niemals tun. Die „ebenen“ Schnittkörper des Fünfzells
können konstruiert werden, wenn ihre Schnittpunkte mit den
Kanten bekannt sind. Es können aber auch Ebenen einfach durch
die Grenztetraeder oder Schnittkörper des Fünfzells gelegt werden.
Derartige Ebenen, die jetzt diesen dreidimensionalen Grenz- oder
Schnittkörpern vollständig angehören, schneiden das vierdimensio-
nale Fünfzell nicht weiter, sind also keine Hyperebenen.
Es lassen sich bestimmte, ja beliebige ebene Schnitte durch
das Fünfzell legen, und die Körper, die sich hierbei ergeben, lassen
sich konstruieren. Zunächst sollen gerade und nachher schiefe
Schnitte dargestellt werden. Bei einem gewöhnlichen regulären
Tetraeder ergeben sich verschiedene Arten von Schnitten, je nach-
dem wie die Schnittpunkte auf den Kanten liegen. Es lassen sich
folgende unterscheiden: Liegen die schneidenden Ebenen (Fig. 2a)
parallel einer Grenzfläche, so ergeben sich reguläre Dreiecke, die bei
Bewegung der schneidenden Ebene von der Grenzfläche weg immer
kleiner und schließlich zu einem Punkte werden. Bei Ebenen,
die gleichzeitig parallel zu zwei nicht aneinander stoßenden Kanten