Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten usw. 9

Die Vertauschung der Integrationsfolge, welche hier vorgenommen
wurde, läßt sich im Reellen deuten als zweifache Darstellung des
Flächenintegrals über das Dreieck mit den Eckpunkten (a, a), (a, x),
(x, x) in der (u, tc^-Ebene, ist aber, unabhängig von dieser Deu-
tung, auch für komplexe Integrale gestattet.
Nun können wir wiederum von (27) aufsteigen zu der Gleichung
__„
(Z> —23)W3 (Z)—z2)™2 (Z) —zj™1 j

(30)


Wird das bestimmte Integral auf der rechten Seite von (30) mit
7/3(a?) bezeichnet, so ergibt sich, nach Einführung der Funktion-y2 (x)
aus (29) und nach einer ähnlichen Vertauschung der Integrations-
folgen, wie sie vorgenommen wurde, um die zweite Form des Inte-
grales (29) zu gewinnen, daß

(31)
worin


Z3 (w, x) =


gesetzt worden ist.
Auf diese Weise lassen sich schließlich sämtliche Wurzeln
■^15 ^2, ■ • ■’ der Funktion f(JD^ ausschöpfen, und man findet die all-
gemeine Lösung der Differentialgleichung (5) in der Gestalt
i — n
(32) y{x)= -. = iJ D' - //=//4aQ+jü(V) ez^,
JT(Z) — z’)""' i=1
i = 1
worin j»i(ic), wie schon in (22), ein Polynom vom Grade mi—1 in x
mit willkürlichen Koeffizienten bezeichnet, die Funktion yn(x) aber
folgende Bedeutung hat: