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https://doi.org/10.11588/diglit.43616#0009
Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen. 9
da man sonst, wenn man von <; nach links fortschreitet, bei dem
Schnittpunkt der beiden Integralkurven y = (x) und y=y(x) von
der ersten Kurve auf die zweite übersteigen könnte und damit eine
neue Integralkurve von (12) bekäme, die in den Punkt 0,0 mit der
gleichen Tangente einmündet wie y = /(x); diese Kurve würde dann
wegen Punkte oberhalb der maximalen Kurve y =y(x) haben,
was nicht möglich ist.
Die Integralkurve y = 4* (x) erfüllt also, soweit sie in dem Intervall
0<x^‘£ existiert, die beiden Ungleichungen (15) und (16) und hat
daher beschränkte Ordinaten. Da sie nach links dem Rand des Stetig-
keitsbereichs der Differentialgleichung (12) beliebig nahe kommen
muß1), kommt sie demnach an die Gerade x=0 heran und existiert
daher in dem ganzen Intervall 0 < x und erfüllt dort (15) und (16).
Da 0 und y im Punkt x = 0 stetig sind und dort den Wert 0 haben,
folgt aus den Ungleichungen (15) und (16)
lim (x) = 0.
x-> 0
Setzt man tp (0) = 0, so folgt weiter aus den genannten Un-
gleichungen für x > 0
Z (x) — /JO) . ö (x) - '4 (0) < <1> (x) — $ (0)
X X X
Da der erste und dritte Bruch für x —>- 0 den Limes / (0) = 0 bzw.
<[>'(0)^0 haben, existiert demnach ']/(0) und hat den Wert 0.
Damit ist der gewünschte Widerspruch erreicht, da hiernach
y = ü (x) eine für O^x^‘5 differenzierbare Punktion mit den Werten
4»(0) = 6'(0) = 0 wäre, die für 0<x^( ein Integral von (12) ist
und die Ungleichung (16) erfüllt, und das widerspräche der Maximal-
eigenschaft von y (x).
Zusatz 1: Der Satz bleibt richtig, wenn man die Inter-
valle 0 x ■< a, 0<x<a durch — a < x 0, — a < x < 0, maxi-
mal durch minimal, und (14) durch
(14a) (l>(x)^z(x) für —a<x^0
ersetzt.
Zusatz 2: Der Satz bleibt auch richtig, wenn man
<P'(0)^0 durch $'(0)^0, (13) durch
(I3*) $L(x) ^2(x,<I>(x)),
D Kamke, Acta matheniatica 52 (1928) 327ff. oder Kamke, Differential-
gleichungen reeller Funktionen, Leipzig 1930, S. 75.
da man sonst, wenn man von <; nach links fortschreitet, bei dem
Schnittpunkt der beiden Integralkurven y = (x) und y=y(x) von
der ersten Kurve auf die zweite übersteigen könnte und damit eine
neue Integralkurve von (12) bekäme, die in den Punkt 0,0 mit der
gleichen Tangente einmündet wie y = /(x); diese Kurve würde dann
wegen Punkte oberhalb der maximalen Kurve y =y(x) haben,
was nicht möglich ist.
Die Integralkurve y = 4* (x) erfüllt also, soweit sie in dem Intervall
0<x^‘£ existiert, die beiden Ungleichungen (15) und (16) und hat
daher beschränkte Ordinaten. Da sie nach links dem Rand des Stetig-
keitsbereichs der Differentialgleichung (12) beliebig nahe kommen
muß1), kommt sie demnach an die Gerade x=0 heran und existiert
daher in dem ganzen Intervall 0 < x und erfüllt dort (15) und (16).
Da 0 und y im Punkt x = 0 stetig sind und dort den Wert 0 haben,
folgt aus den Ungleichungen (15) und (16)
lim (x) = 0.
x-> 0
Setzt man tp (0) = 0, so folgt weiter aus den genannten Un-
gleichungen für x > 0
Z (x) — /JO) . ö (x) - '4 (0) < <1> (x) — $ (0)
X X X
Da der erste und dritte Bruch für x —>- 0 den Limes / (0) = 0 bzw.
<[>'(0)^0 haben, existiert demnach ']/(0) und hat den Wert 0.
Damit ist der gewünschte Widerspruch erreicht, da hiernach
y = ü (x) eine für O^x^‘5 differenzierbare Punktion mit den Werten
4»(0) = 6'(0) = 0 wäre, die für 0<x^( ein Integral von (12) ist
und die Ungleichung (16) erfüllt, und das widerspräche der Maximal-
eigenschaft von y (x).
Zusatz 1: Der Satz bleibt richtig, wenn man die Inter-
valle 0 x ■< a, 0<x<a durch — a < x 0, — a < x < 0, maxi-
mal durch minimal, und (14) durch
(14a) (l>(x)^z(x) für —a<x^0
ersetzt.
Zusatz 2: Der Satz bleibt auch richtig, wenn man
<P'(0)^0 durch $'(0)^0, (13) durch
(I3*) $L(x) ^2(x,<I>(x)),
D Kamke, Acta matheniatica 52 (1928) 327ff. oder Kamke, Differential-
gleichungen reeller Funktionen, Leipzig 1930, S. 75.