Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die eindeutige Bestimmtheit der Integrale von Differentialgleichungen. 11
definiert sind und die Ungleichung
8 (fi (x, yx, • • •, yn) — fi (x, yx, ■ •yn), • • •,
(20) fn (x, yx,..yn) — fn (x, y1?..yn))
Ö (x — ?, S (yx — yX1..., yn — yn))
für ?<x <? + a erfüllen1), so gilt für je zwei durch den
Punkt ?, v)!,.. .,v)n gehende Integral ku rven
(21) yx = <px (x),..yn = (x) und yx = (x),..., yn = <ft (x)
des Systems (S) die Ungleichung
(22) S (ft (x) — <px (x),..., ft (x) — (x)) X (x— ?),
soweit beidelntegralkurven(21)in demlntervall?^x<? + a
existieren.
Beweis: Wird
$ (x) = S (ft (x) — <px (x),. . (pn (x) — on (x))
gesetzt, so folgt aus (17), (S) und (20)
0+ (x) Q (x — ?, 0 (x)).
Ferner ist
0(?)=S(O,...,O) = O
und wegen (17)
0+ (?) s (ft (?) - ft (?),..?n'(?) - ft (?)) = S(o,..o) = o.
Daher folgt die Behauptung aus Satz 2, angewendet auf ?, ? + a
statt 0, a.
Zusatz 1: Der Satz bleibt richtig, wenn man die Inter-
valle 0^x<a, 0<x<a, ?^x<? + a, ?<x<?+a durch
— a < x < 0, —a<x<0, ? — a<x^?, ?—a < x < ?, maximal
durch minimal, und (22) durch
(22a) S (ft (x) — <px (x),..., ft (x) — ft(x)) 1 x (x —I?)
ersetzt.
Zusatz 2: Der Satz bleibt ferner richtig, wenn man (17)
durch
(17 a) D±S(ux(x),...,un(x)) S (ux'(x),..., ft (x) ),
maximal durch minimal, in (20) das Zeichen 5S durch
und (22) durch (22a) ersetzt. — Ebenso bleibt der Zusatz 1

0 Der Beweis macht sogar nur davon Gebrauch, daß (20) für die Integral-
kurven (21), d. h. für yv = cpv (x), yv = ft, (x) gilt.