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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0006
6
Heinrich Kapferer:
Die durch (2 a) eindeutig bestimmte Zahl /z ist genau gleich
dem Rang des Punktes P in bezug auf f, g, den wir oben axio-
matisch definiert haben.
(3)
(4)
Der Satz (2) ist seinerseits eine leichte Folge — das Ergebnis
wiederholter Anwendung — nachstehenden Satzes1):
Dafür, daß ein Punkt P den Rang y besitzt in bezug auf ein
Polynompaar f,g — unter den Voraussetzungen (1) ist not-
wendig und hinreichend, daß derselbe Punkt P den Rang /z—1
besitzt in bezug auf das Polynompaar J (x,y\ g(x,y), wo J (xy)
die Funktionaldeterminante von f, g ist, d. h.
J — fx' 9v fy ‘ 9x
Auf Grund der Voraussetzung (1) können wir, ohne Beschränkung,
annehmen, daß etwa g (a, y) $ 0 (G —/5)2) ist; dann setzen wir
g-~a^ = g0 («/), so daß also g0(ß) + 0 ist.
9 P
Dann behaupten wir zunächst:
Es gibt eine natürliche Zahl y von der Art, daß zwar
I« f.1
f-g0 = Q (fir-ct), (j)
^ + 1 |U + 1
aber gleichzeitig f- g0 ?0 (fir—a)) , g) ist;
denn, wenn überhaupt für irgendein x>0 die Kongruenz gilt:
/■•c/o=O ((z-a“, g)
— für x = 0 ist dies sicher der Fall —, so ist dies gleichbedeutend mit:
es existieren 2 Polynome h und t in x, y, so daß die Identität gilt
(4a) +
Wir unterscheiden zwei sich ausschließende Fälle:
1. Fall: h(a, ß) tO; hier ist der Rang des Punktes P in bezug
auf f, g genau gleich x, und zwar als Folge2) der charakteristischen
Eigenschaften des Rangbegriffs (§ 1). Über die Größe von x kann
man jedenfalls soviel aussagen, sie ist, infolge des Bezout sehen Satzes,
jedenfalls eine endliche Zahl, und zwar eine Zahl aus dem Intervall
0 /z m
Der Satz (3) ist inhaltlich identisch mit einem 1923 von mir aufgestellten
Satz (H. Kapferer „Über die Multiplizität der Schnittpunkte von 2 algebraischen
Kurven“, Jahresbericht der D. M. V. 1923/4); er soll aber hier auf eine neue und
durchsichtigere Art bewiesen werden, unter direkter Berufung auf die Axiome
der Rangzahlen.
Heinrich Kapferer:
Die durch (2 a) eindeutig bestimmte Zahl /z ist genau gleich
dem Rang des Punktes P in bezug auf f, g, den wir oben axio-
matisch definiert haben.
(3)
(4)
Der Satz (2) ist seinerseits eine leichte Folge — das Ergebnis
wiederholter Anwendung — nachstehenden Satzes1):
Dafür, daß ein Punkt P den Rang y besitzt in bezug auf ein
Polynompaar f,g — unter den Voraussetzungen (1) ist not-
wendig und hinreichend, daß derselbe Punkt P den Rang /z—1
besitzt in bezug auf das Polynompaar J (x,y\ g(x,y), wo J (xy)
die Funktionaldeterminante von f, g ist, d. h.
J — fx' 9v fy ‘ 9x
Auf Grund der Voraussetzung (1) können wir, ohne Beschränkung,
annehmen, daß etwa g (a, y) $ 0 (G —/5)2) ist; dann setzen wir
g-~a^ = g0 («/), so daß also g0(ß) + 0 ist.
9 P
Dann behaupten wir zunächst:
Es gibt eine natürliche Zahl y von der Art, daß zwar
I« f.1
f-g0 = Q (fir-ct), (j)
^ + 1 |U + 1
aber gleichzeitig f- g0 ?0 (fir—a)) , g) ist;
denn, wenn überhaupt für irgendein x>0 die Kongruenz gilt:
/■•c/o=O ((z-a“, g)
— für x = 0 ist dies sicher der Fall —, so ist dies gleichbedeutend mit:
es existieren 2 Polynome h und t in x, y, so daß die Identität gilt
(4a) +
Wir unterscheiden zwei sich ausschließende Fälle:
1. Fall: h(a, ß) tO; hier ist der Rang des Punktes P in bezug
auf f, g genau gleich x, und zwar als Folge2) der charakteristischen
Eigenschaften des Rangbegriffs (§ 1). Über die Größe von x kann
man jedenfalls soviel aussagen, sie ist, infolge des Bezout sehen Satzes,
jedenfalls eine endliche Zahl, und zwar eine Zahl aus dem Intervall
0 /z m
Der Satz (3) ist inhaltlich identisch mit einem 1923 von mir aufgestellten
Satz (H. Kapferer „Über die Multiplizität der Schnittpunkte von 2 algebraischen
Kurven“, Jahresbericht der D. M. V. 1923/4); er soll aber hier auf eine neue und
durchsichtigere Art bewiesen werden, unter direkter Berufung auf die Axiome
der Rangzahlen.