Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Schnittpunktsysteme mit vorgeschriebenen Multiplizitätszahlen 15

(24 b)

Bei M<N haben die Probleme I' und II' stets dann und
s
nur dann Lösungen, wenn der Rang r' jener JT/Zj Gleichungen
die Ungleichung erfüllt


Sobald diese Bedingung erfüllt ist, bildet die Gesamtheit der
Lösungspolynome einen Modul vom Range

iV; -

Da der Rang eines linearen Gleichungssystems niemals größer ist
als die Anzahl der Gleichungen des Systems — in den Sätzen (24 a)
und (24b) ist diese Anzahl 2^ —, so gelten a fortiori folgende
Sätze:

Bei M>N hat das Problem IT' stets Lösungen, wenn
+ ^2 + • • + M ’ N — (”^2 0

(25 a)


ist. Falls diese Bedingung erfüllt ist, so bildet die Gesamt-
heit der Lösungspolynome einen Modul, dessen Rang min-
destens gleich
2R • N— (^2 1) + 1 — C“i + 7^2 + • • + /^s)
ist.

(25b)-;

Bei hat das Problem II' stets Lösungen, wenn
/Z1 + + • • + ias <

ist, und dann bildet die Gesamtheit der Lösungspolynome
einen Modul, dessen Rang mindestens

ist.


Diese Sätze (25 a) und (25 b) sind Kriterien von besonders prak-
tischer Bedeutung, weil ihr Gebrauch gar keine Rechnung
erfordert. Die wirkliche Konstruktion der Lösungen geschieht da-
gegen stets gemäß Satz (12).

§ 5. Verschärfung der Problemstellung.
Problem III. Mit der Lösung der Probleme I und II ist auch
die schärfere Frage beantwortet, ob unter den Polynomen der Art I
auch solche existieren, mit bestimmt vorgeschriebener Ord-
nung M', und wieviele solche existieren. Denn wenn die Anzahl 5l0