Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine idealtheoretische Lösung des CRAMERschen Paradoxons usw. 25

Wir wollen nun den Rang desjenigen Moduls Ti bestimmen, der
definiert wird durch die Gesamtheit der Formen der Ordnung v, welche
= 0 </) sind, d. h., welche sich darstellen lassen in der Form
—m ’ fm +^n-9n> v> Max (m, n),
wo Äy—m und !^v—n ebenfalls Formen sind von der durch den Index
angegebenen Ordnung.
Der Modul TI zerfallt, wie unmittelbar ersichtlich, in dem oben
genannten Sinn in 2 Teilmodul Tlj und OJt2, wenn man unter T^ die
Gesamtheit der durch f teilbaren Formen der Ordnung v und unter
Tt2 die Gesamtheit der durch g teilbaren Formen der Ordnung v versteht,
gleichgiltig, ob T^ und Tl2 gemeinsame Elemente haben oder nicht. Von
jedem der beiden Teilmoduln können wir sofort je eine Minimalbasis an-
geben. Wir nehmen die verschiedenen Potenzprodukte xayßz>> mit
a + /?+/ = v — w, dann bilden die Produkte xayß $ • f eine Minimal-
basis von Ttr Der Rang von Tlj ist also Rs^ = (v ~ ; analog
ist der Rang von Tl2 gleich Rgjt2 = Vereinigung
der Elemente einer Minimalbasis von Ti] und der Elemente einer
Minimalbasis von Tl2 bildet jedenfalls eine Basis des Moduls Ti, aber
noch nicht immer eine Minimalbasis. Wir behaupten:
Im Falle v<m + n ist der Rang des Formenmoduls TI be-
stimmt durch R3/ = (v ~ ™ _p ~ V 2 j.
Im Falle ist der Rang von TI bestimmt durch
B» = (v - “ + 2) + (” “2+ 2) - (v ~ + 2).
Nach dem schon oben Gesagten ist der des Moduls Ti stets
höchstens R^+R^. Wir beweisen nun zunächst (10 a). In diesem
Fall, nämlich bei vV m-j-n, kann zwischen den Basiselementen von
Tlj und Tu keine Abhängigkeit bestehen, weil sonst eine Identität
der Art
D~m • / + ^'v—n • 9 = 0
bestehen würde mit nicht identisch verschwindenden 2' und //. Aus
der Teilerfremdheit von f und g würde hieraus weiter folgen
v—m - 0 fg n)
F v—n d {fm) )
also beidemal v m + n, entgegen der Voraussetzung in (10 a). Zum

(10 b)

(10 a)