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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0031
Über clas Verhältnis von Idealklassen- und Einheiten-
gruppe in Abelschen Körpern von Primzahlpotenzgrad.
Von Arnold Scholz in Freiburg i. Br.
Die Gesamtheit der absolut metabelschen Körper1) besteht aus
den Klassenkörpern (relativ Abelschen Körpern) über den Kreiskörpern,
entsprechend die der metabelschen Körper von Primzahlpotenzgrad Z”
aus den Klassenkörpern von Primzahlpotenzgrad Z^ über den Kreis-
körpern von einem Primzahlpotenzgrad Z™. Der Führer des Klassen-
körpers geht bei diesen stets in einer solchen ganzen rationalen Zahl
auf, die im Körper P der rationalen Zahlen selbst Führer sein kann,
also ein Produkt von Primzahlen der Form Ix +1, multipliziert even-
tuell mit einer höheren Potenz von l; denn ist £ ein zu Z teilerfremdes
Primideal eines Kreiskörpers vom Grade Zm, und soll es im Führer
eines Klassenkörpers vom Grade Z^ über diesem aufgehn, so muß
ZHi'
'N(#')=p = 1 (mod Z) sein, und das ist nur der Fall, wenn schon
p = 1 (Z). Alle metabelschen Körper, deren Grad eine Potenz von Z
ist, kann man dann als Unterkörper anderer so erfassen: Bezeichnet
h
allgemein K den Unterkörper Z UB Grades des Körpers der Ein-
heitswurzeln, wo p eine Primzahl der Form Z^ + 1 oder auch
p = l^ 1 1 t 2^~^1ist2) und im ersten Falle das Maximum, für das
p=l (ZV) ist, so ist jeder metabelsche Körper K, in dessen Diskri-
minante nur die zu Z teilerfremden Primzahlen pv p2, . . . pn aufgehn,
w Z?'n
in dem vollständigen Klassenkörper3) des Kreiskörpers II K v zum
V — l v
x) Es ist immer nur von Normalkörpern die Rede.
2) +1 2Ä d-1 schließen wir, um die Darstellung nicht unübersicht-
licher zu machen, überhaupt von der Betrachtung aus.
3) Klassenkörper sind fortan hiei’ wie alle andern Körper von Primzahl-
potenzgrad gedacht; in diesem Sinne ist auch die Vollständigkeit eines Klassen-
körpers immer in bezug auf die Primzahl l zu verstehen.
gruppe in Abelschen Körpern von Primzahlpotenzgrad.
Von Arnold Scholz in Freiburg i. Br.
Die Gesamtheit der absolut metabelschen Körper1) besteht aus
den Klassenkörpern (relativ Abelschen Körpern) über den Kreiskörpern,
entsprechend die der metabelschen Körper von Primzahlpotenzgrad Z”
aus den Klassenkörpern von Primzahlpotenzgrad Z^ über den Kreis-
körpern von einem Primzahlpotenzgrad Z™. Der Führer des Klassen-
körpers geht bei diesen stets in einer solchen ganzen rationalen Zahl
auf, die im Körper P der rationalen Zahlen selbst Führer sein kann,
also ein Produkt von Primzahlen der Form Ix +1, multipliziert even-
tuell mit einer höheren Potenz von l; denn ist £ ein zu Z teilerfremdes
Primideal eines Kreiskörpers vom Grade Zm, und soll es im Führer
eines Klassenkörpers vom Grade Z^ über diesem aufgehn, so muß
ZHi'
'N(#')=p = 1 (mod Z) sein, und das ist nur der Fall, wenn schon
p = 1 (Z). Alle metabelschen Körper, deren Grad eine Potenz von Z
ist, kann man dann als Unterkörper anderer so erfassen: Bezeichnet
h
allgemein K den Unterkörper Z UB Grades des Körpers der Ein-
heitswurzeln, wo p eine Primzahl der Form Z^ + 1 oder auch
p = l^ 1 1 t 2^~^1ist2) und im ersten Falle das Maximum, für das
p=l (ZV) ist, so ist jeder metabelsche Körper K, in dessen Diskri-
minante nur die zu Z teilerfremden Primzahlen pv p2, . . . pn aufgehn,
w Z?'n
in dem vollständigen Klassenkörper3) des Kreiskörpers II K v zum
V — l v
x) Es ist immer nur von Normalkörpern die Rede.
2) +1 2Ä d-1 schließen wir, um die Darstellung nicht unübersicht-
licher zu machen, überhaupt von der Betrachtung aus.
3) Klassenkörper sind fortan hiei’ wie alle andern Körper von Primzahl-
potenzgrad gedacht; in diesem Sinne ist auch die Vollständigkeit eines Klassen-
körpers immer in bezug auf die Primzahl l zu verstehen.