Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 33

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wählt. Dabei permutiert Sv den Körper K , die andern K ‘ läßt es
invariant. Die Sr erzeugen nicht nur wie bei einem beliebigen. Kreis-
körper die Gruppe <&, sondern sind auch voneinander unabhängig, da
hier K direktes Produkt der K ist. Suchen wir jetzt für jedes S»
in der Gruppe ® einen Repräsentanten S^S), der die Trägheitsgruppe
eines Primidealteilers p)( von pv in K erzeugt, so kann sich die Ord-
nung von Sv nicht vergrößert haben, weil von K auf K nicht
weiter in eine Potenz zerfällt. Die Ordnungen der Sr in bezug auf
die Kommutatorgruppe 21 stimmen also mit ihren absoluten Ordnungen
überein. (Die Gruppe @ gehört demnach zu den Gruppen, die ich in
der Abhandlung: >Reduktion der Konstruktion von Körpern mit zwei-
stufiger (metabelscher) Gruppe<5) behandelte, als Faktorgruppen der
>Zweiggruppen<.)
1. Die einfachsten Körper K, mit deren Betrachtung wir hier be-
ginnen wollen, sind die Körper ZüJ ; p Primzahl der Form +
q desgleichen oder = Z2. — Zwei Erzeugende muß die metabelsche Gruppe
wenigstens haben, weswegen ein bloßer Körper mit seinem abso-
luten Klassenkörper übereinstimmt, eine zu Z prime Klassenzahl hat. —
Und zwar wollen wir hier Zusammenhänge zwischen Idealklassen- und
Einheitengruppe untersuchen.4 5 6) Es soll Z>2 sein. (Für Z=2 ist die
4) Wir wollen uns an folgende Bezeichnungsweise gewöhnen: Ist § Faktor-
gruppe von §, N ein Element von so bezeichnen wir in § mit 5 irgendeinen
bestimmten Repräsentanten für S, umgekehrt beim Übergang zur Faktorgruppe
das durch $ repräsentierte Element. Natürlich muß dabei immer klar sein, von
welcher Gruppe augenblicklich die Rede ist.
5) Sitzungsber. d. Heidelbg. Ak. 1929, Abh. 14, S. 11 ff.
6) Hierüber existieren Abhandlungen von G. Herglotz und F. Pollaczek in
der Math. Zeitschr. 12 (1921), S. 255—261 und 80 (1929), S. 520—551. Die
Pollaczek sehe Arbeit hat ebenfalls das Ziel, einen Zusammenhang zwischen
der Ausdehnung der Idealklassen- und der Einheitengruppe in relativ Abelschen
Körpern vom Typus (h 0 herzustellen, und zwar geht Pollaczek von einem be-
liebigen Grundkörper aus, der die Einheitswurzel £ enthält, was keine
wesentliche Einschränkung für den Grundkörper bedeutet. Jedoch beschränkt
er sich in der Hauptsache auf numerische Abschätzungen (nach >oben<), während
in der vorliegenden Arbeit die Struktur der Idealklassen- und Einheitengruppe
verglichen wird. Die Resultate gehen natürlicherweise für den Grundkörper der
rationalen Zahlen (wie auch für Grundkörper, die f nicht enthalten) und die
speziell gewählten erzeugenden Körper weit über das hinaus, was man für einen
beliebigen Grundkörper aussagen kann. — Trotzdem Pollaczek zuerst auch die
Tatsache erwähnt, daß die >akzessorische< Idealklassengruppe des relativ Abel-
schen Körpers das direkte Produkt der akzessorischen Idealklassengruppen der
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