Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Scholz:

Idealklassengruppe zyklisch, und für reelles K sind e2, e3 bzw. e1?
e2, K e2 e3 die Fundamentaleinheiten, wenn e2, e3 die Fundamental-
einheiten der Körper P (Vp), P (Kq\ PQ^PO) sind und N (e3) = +1
bzw. — 1.) Die Unterkörper Kp und TlJ von K mögen zu den Unter-
gruppen {/Sj} und {S2} der Gruppe <5 vom Typus (Z, Z) gehören. Die
Kommutatorgruppe QI der Gruppe @ von K wird hier symbolisch aus
dem Kommutator A = S2 1 JS'2^1 = S'2 1 * * 1 S2 S1 erzeugt: QI = {^4} ?
Gesamtheit der symbolischen Potenzen A . Zwischen den Ele-
menten von QI und den Elementen der Idealklassengruppe7) von K\K
besteht nach dem Artinschen Reziprozitätsgesetz eine ganz bestimmte
eindeutige isomorphe Zuordnung, die sich auch auf die Anwendung
der Substitutionen Sv auf die Idealklassen und die Elemente von QI
(durch Transformation der Elemente mit den Sv) überträgt; wir wollen
darum die entsprechenden Elemente beider Gruppen identifizieren und
immer von den Idealklassen mit dem Namen der Gruppenelemente
von QI sprechen. Wegen der Unabhängigkeit der und S2 von Ql
(Si— Sz= E in @) hat die erzeugende Idealklasse A von Ql eine in
sQ aufgehende5) Ordnung Q)l: die Gesamtheit (ldealmodül)
aller symbolischen Exponenten, die A in E überführen. Da (S — 1/ *-
l~1 2 . k . .
-\-l J(S} ist und eine Potenz l in QJl liegt, so liegt auch eine

Potenz von 1 = A und ebenso eine Potenz von S2 — 1 = Y in QJl,
und damit auch eine Potenz des Primmoduls £ = (Z, X, F). £ ist somit
der einzige Primteiler von QJl, QTt ein Primärmodul.8) Es ist daher im
allgemeinen vorteilhaft, X und F als Grundvariable anzusehen. Für
jedes J außerhalb £ gilt: (J, QJl) = (1); A erzeugt wie A die Kom-
mutatorgruppe. Den Buchstaben J werden wir immer für Polynome
J <|7 £ gebrauchen. Liegt Z schon in QF, existiert also in K keine

l + 1 zyklischen Unterkörper ist, und daß die Faktorgruppe aller Idealklassen
(Einheiten) des Abelschen Körpers nach den Idealklassen (Einheiten), die aus
den Idealklassen (Einheiten) der l-\-1 Unterkörper erzeugt werden, eine Abelsche
Gruppe von einem Typus (Z, 1,. . .1) ist, trotzdem beschränkt sich Pollaczek im
folgenden darauf, den relativ Abelschen Körper über nur einem der Unterkörper
als Relativkörper zu betrachten; darum bringe ich im letzten Abschnitt dieser
Abhandlung auch noch eine numerische Ergänzung.
7) Die Idealklassengruppe eines Klassenkörpers ist die Gruppe der Rest-
klassen nach der Idealgruppe des Klassenkörpers; die Idealgruppe die Haupt-
klasse der Klassengruppe.
8) Vgl. E. Noether: Math. Ann. 83 (1921), S. 24—66.