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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0051
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 51
durch Vertauschung von X und Y in (11), wenn man p,a durch
A2 — 1,^— 1 ersetzt. So verschieden der idealtheoretische Charakter der
Stammkörper und Zwischenkörper ist, die gruppentheoretischen Be-
dingungen für Normkörper sind doch wieder ähnlich. — Auf Grund
der modultheoretischen Untersuchungen in 5. hat sich für die ver-
schiedenen Möglichkeiten von 5)1 |Z ergeben:
1. 2J1 = (1). Alle Zwischenkörper
körper auch beide, wenn
sind Normkörper, die Stamm-
(— )7 4= 1. Kl ist Nichtnorm-
\q/l s
körper, wenn = 1. Eins der beiden Potenzrestsymbole muß 4= 1
sein. (Kriterium für 5)1 = (1).)
2. 5)1 = 51- Alle Zwischenkörper sind Normkörper, die Stamm-
körper auch beide, wenn £ £ modjö in K^ und n a^mod q in K?.
ist Nichtnormkörper, wenn n = al mod q in äJ. Eine der beiden
^ten Nichtrestbindungen muß stattfinden.
3. /z (5)1) = Z-l; 5)1 + 5t. VZ~2 FZ~2 = 0 (5)1). Weder ein
Stammkörper noch ein Zwischenkörper ist Normkörper.
4. 0</z<Z—1; 5)1 durch einen Einsiedler erzeugbar. Dieser
muß wegen der Teilerbedingung am Schluß von 4. die Form:
X^X Fß (oder Yfi + YF'^) haben. Es ist = /z + 1, Ä2 = l, qca = qc.
Alle Zwischenkörper und sind Normkörper; K^ nicht.
5. 0 < /z < Z— 1; 5)1 durch einen Nichteinsiedler erzeugbar. Dieser
muß wegen der Teilerbedingung die Form: X F^__r oder YFß^
haben; also Fall 6b) aus 5. Alle Ausdrücke Z + /z — 3151 Dimension
liegen in 5)1. Es ist daher weder ein Stammkörper, noch ein Zwischen-
körper Normkörper.
6. 0</x<Z— 1; mehrere Erzeugende von 5)1. Dasselbe Resultat
wie 5.
Die Zwischenkörper sind also stets alle Normkörper oder alle nicht.
Von den Stammkörpern ist wenigstens einer Normkörper, wo die
Zwischenkörper es sind, nämlich wenn 5)1 = (1) oder 5)1 = 51 oder ein
Einsiedlermodul ist. Im letzten Fall ist nur der eine Stammkörper
Normkörper; für 5)1 = (1) und 5)1 = 5t können es beide sein.
Treten iu K Idealklassen der Ordnung Z2 auf, so wird die Unter-
suchung viel schwieriger. Es sei nur erwähnt, daß im Falle 5)1 = 51^ -
(Z ’ ZSß, XS2) dieselbe Situation eintritt wie im Falle 5)1=51.
4*
durch Vertauschung von X und Y in (11), wenn man p,a durch
A2 — 1,^— 1 ersetzt. So verschieden der idealtheoretische Charakter der
Stammkörper und Zwischenkörper ist, die gruppentheoretischen Be-
dingungen für Normkörper sind doch wieder ähnlich. — Auf Grund
der modultheoretischen Untersuchungen in 5. hat sich für die ver-
schiedenen Möglichkeiten von 5)1 |Z ergeben:
1. 2J1 = (1). Alle Zwischenkörper
körper auch beide, wenn
sind Normkörper, die Stamm-
(— )7 4= 1. Kl ist Nichtnorm-
\q/l s
körper, wenn = 1. Eins der beiden Potenzrestsymbole muß 4= 1
sein. (Kriterium für 5)1 = (1).)
2. 5)1 = 51- Alle Zwischenkörper sind Normkörper, die Stamm-
körper auch beide, wenn £ £ modjö in K^ und n a^mod q in K?.
ist Nichtnormkörper, wenn n = al mod q in äJ. Eine der beiden
^ten Nichtrestbindungen muß stattfinden.
3. /z (5)1) = Z-l; 5)1 + 5t. VZ~2 FZ~2 = 0 (5)1). Weder ein
Stammkörper noch ein Zwischenkörper ist Normkörper.
4. 0</z<Z—1; 5)1 durch einen Einsiedler erzeugbar. Dieser
muß wegen der Teilerbedingung am Schluß von 4. die Form:
X^X Fß (oder Yfi + YF'^) haben. Es ist = /z + 1, Ä2 = l, qca = qc.
Alle Zwischenkörper und sind Normkörper; K^ nicht.
5. 0 < /z < Z— 1; 5)1 durch einen Nichteinsiedler erzeugbar. Dieser
muß wegen der Teilerbedingung die Form: X F^__r oder YFß^
haben; also Fall 6b) aus 5. Alle Ausdrücke Z + /z — 3151 Dimension
liegen in 5)1. Es ist daher weder ein Stammkörper, noch ein Zwischen-
körper Normkörper.
6. 0</x<Z— 1; mehrere Erzeugende von 5)1. Dasselbe Resultat
wie 5.
Die Zwischenkörper sind also stets alle Normkörper oder alle nicht.
Von den Stammkörpern ist wenigstens einer Normkörper, wo die
Zwischenkörper es sind, nämlich wenn 5)1 = (1) oder 5)1 = 51 oder ein
Einsiedlermodul ist. Im letzten Fall ist nur der eine Stammkörper
Normkörper; für 5)1 = (1) und 5)1 = 5t können es beide sein.
Treten iu K Idealklassen der Ordnung Z2 auf, so wird die Unter-
suchung viel schwieriger. Es sei nur erwähnt, daß im Falle 5)1 = 51^ -
(Z ’ ZSß, XS2) dieselbe Situation eintritt wie im Falle 5)1=51.
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