Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Scholz:

7. Zum Schluß wollen wir noch clie zahlenmäßige Ausdehnung
der Idealklassengruppe und Einheitengruppe von K mittels der Dede-
kind sehen Klassenzahlformel vergleichen. Die Klassenzahlrelation für
K setzt sich für jeden in der Relation auftretenden Bestandteil multipli-
kativ aus den Relationen der Z + 1 Unterkörper zusammen außer für
die Klassenzahlen und Regulatoren, für die die Relation bleibt15):

z + i
n
2 = 1 /l
~h~

R

z+i
n r}
2 = 1 Z

Dabei bedeute h^ die Klassenzahl und R^ den Regulator des Körpers
h und R die entsprechenden Größen für K. Die Klassenzahlen
können wir gleich als Potenzen von l auffassen, indem wir wieder als
Hauptideale solche betrachten, von denen eine Potenz Zahlideal
ist; denn die "akzessorische Idealklassengruppe von K (nach der Be-
zeichnung von Pollaczek), die wir hier außer acht lassen, ist gerade
das direkte Produkt der akzessorischen Idealklassengruppen der Z + l
Unterkörper. Daher ist obiger Quotient eine Potenz von Z. Den Ex-
ponenten c nennen wir die Schrumpfung (Kontraktion) der Idealklassen-
gruppe. Er gibt an, wie stark das Zusammenfallen von alten Ideal-
klassen das Hinzukommen von neuen in R überwiegt. (Ob er jemals
negativ sein kann, bleibe dahingestellt.) Für die Ausdehnung der
Einheitengruppe über die Alteinheitengruppe hinaus haben wir in 2.
schon den Exponenten e als "Spannungr eingeführt (U als Ordnung
von E j H). Die Regulatoren R; und R ändern wir ebenfalls um einen
zu l primen ganzen rationalen Faktor ab, indem wir für das Funda-
mentalsystem von Einheiten bei den Körpern eine relative Grund-
einheit mit Z —2 Konjugierten einsetzen und bei K ein System wählen,
das die in 2. definierte Gruppe E erzeugt (hier nicht symbolisch).
Der Quotient bleibt dabei erhalten.
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Für den Regulator R^ der Alteinheiten, der aus dem Regulator
R des Körpers K entsteht, indem man für die E- Basis die H-Basis
(1) einsetzt, gilt dann offenbar:
ie -r> 7® + c T>
A h — Z • R — 1 jj R^
2=1
Wir wollen zeigen, daß diese Beziehung formal in den R^ gilt,
wenn wir diese als variable Determinanten:

16) F. Pollaczek, loc. cit. § 2. Dort ist der reziproke Quotient mit q bezeichnet,