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https://doi.org/10.11588/diglit.43604#0003
Über das Archimedische und das Cantorsche Axiom1).
Die hier folgenden Ausführungen enthalten als Hauptergebnis
den Nachweis zweier Tatsachen. Erstens: es genügt in der ab-
soluten Geometrie ■— und damit auch in der Euklidischen wie
der hyperbolischen —, im Archimedischen Axiom die Meßbarkeit
einer einzigen Strecke durch jede ihrer Teilstrecken zu fordern;
dann folgt daraus als Satz, daß der ganze Raum Archimedisch,
d. h. jede Strecke durch jede kleinere meßbar ist. Zweitens: man
kann in jeder Archimedischen Geometrie das ÜANTORsche
Axiom als reines Anordnungsaxiom aussprechen; damit gewinnt
man eine nicht-metrische und besonders einfache Formulierung
dieses Axioms. Dem verschiedenartigen Charakter dieser beiden
Ergebnisse entsprechend zerfallen die Betrachtungen in zwei, im
wesentlichen voneinander unabhängige Teile.
I. Das Archimedische Axiom in der absoluten Geometrie.
1. Der absoluten Geometrie, dem gemeinsamen Bestandteile
der Euklidischen und der hyperbolischen Geometrie, legen wir ein
Axiomensystem zugrunde, das in möglichst engem Anschluß an
D. Hilberts Axiomensystem der Euklidischen Geometrie ge-
wonnen ist2), indem wir mit den drei Hilbert sehen Axiomgruppen
der Verknüpfung, der Anordnung, der Kongruenz beginnen. Mit
b Soweit im Folgenden Ergebnisse meiner beiden vorhergehenden Noten
hereinspielen, werden sie ausdrücklich angeführt. Diese beiden Noten, deren
Kenntnis demnach für das Verständnis der vorliegenden Note nicht notwendig
ist, sind: „Zur Axiomatik der Geometrie I. Über Hilberts Vollständigkeits-
axiom“, Math. Ann. 100 (1928), S. 321—333 (weiterhin zitiert als „G. I“) und
„Zur Axiomatik der Geometrie II. Vereinfachungen des Archimedischen und des
Cantorschen Axioms“, wird in den Berichten des Internationalen Mathematiker-
kongresses zu Bologna (1928) erscheinen (weiterhin zitiert als „G. II“).
2) Es ist wohl selbstverständlich, daß damit das Axiomensystem Hilberts
gemeint ist, das in der ursprünglichen Fassimg der „Grundlagen“ allein auftritt
und das in den weiteren Auflagen als einziges im Hauptteil behandelt wird. Die
in späteren Anhängen der „Grundlagen“ betrachteten Axiomensysteme scheiden
hier aus.
Die hier folgenden Ausführungen enthalten als Hauptergebnis
den Nachweis zweier Tatsachen. Erstens: es genügt in der ab-
soluten Geometrie ■— und damit auch in der Euklidischen wie
der hyperbolischen —, im Archimedischen Axiom die Meßbarkeit
einer einzigen Strecke durch jede ihrer Teilstrecken zu fordern;
dann folgt daraus als Satz, daß der ganze Raum Archimedisch,
d. h. jede Strecke durch jede kleinere meßbar ist. Zweitens: man
kann in jeder Archimedischen Geometrie das ÜANTORsche
Axiom als reines Anordnungsaxiom aussprechen; damit gewinnt
man eine nicht-metrische und besonders einfache Formulierung
dieses Axioms. Dem verschiedenartigen Charakter dieser beiden
Ergebnisse entsprechend zerfallen die Betrachtungen in zwei, im
wesentlichen voneinander unabhängige Teile.
I. Das Archimedische Axiom in der absoluten Geometrie.
1. Der absoluten Geometrie, dem gemeinsamen Bestandteile
der Euklidischen und der hyperbolischen Geometrie, legen wir ein
Axiomensystem zugrunde, das in möglichst engem Anschluß an
D. Hilberts Axiomensystem der Euklidischen Geometrie ge-
wonnen ist2), indem wir mit den drei Hilbert sehen Axiomgruppen
der Verknüpfung, der Anordnung, der Kongruenz beginnen. Mit
b Soweit im Folgenden Ergebnisse meiner beiden vorhergehenden Noten
hereinspielen, werden sie ausdrücklich angeführt. Diese beiden Noten, deren
Kenntnis demnach für das Verständnis der vorliegenden Note nicht notwendig
ist, sind: „Zur Axiomatik der Geometrie I. Über Hilberts Vollständigkeits-
axiom“, Math. Ann. 100 (1928), S. 321—333 (weiterhin zitiert als „G. I“) und
„Zur Axiomatik der Geometrie II. Vereinfachungen des Archimedischen und des
Cantorschen Axioms“, wird in den Berichten des Internationalen Mathematiker-
kongresses zu Bologna (1928) erscheinen (weiterhin zitiert als „G. II“).
2) Es ist wohl selbstverständlich, daß damit das Axiomensystem Hilberts
gemeint ist, das in der ursprünglichen Fassimg der „Grundlagen“ allein auftritt
und das in den weiteren Auflagen als einziges im Hauptteil behandelt wird. Die
in späteren Anhängen der „Grundlagen“ betrachteten Axiomensysteme scheiden
hier aus.