Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Julius Wellstein:

so gehen die Formen in andere über, deren Matrizen Pn Qx aus denen
der ursprünglichen Formen simultan durch kogrediente Trans-
formationen hervorgehen:
(3) P1 = S,PS, Q1 = S'QS, |Q3| = | S|21Q | ={= 0.
Erklärt man nun die Matrizen

(4) A = Q-TP, A, = Q-U,,
so folgt aus (3)
(5) A1 = S~^S,
d. h. die Matrizen A, Ax sind zueinander ähnlich, sie gehören einer
Klasse ähnlicher Matrizen an.

2. Nun läßt sich nach einem Satze von Frobenius1) jede
Matrix als Produkt zweier symmetrischer Matrizen darstellen, von
denen wenigstens eine regulär ist. Seien die zu einander ähnlichen
Matrizen A, A1; zwischen denen also die Relation

(6)

Ax = U-^AU

besteht, in der genannten Weise in Produkte symmetrischer Ma-
trizen zerlegt:
(7) A = Q-XP, Ax = (VPp
Definiert man alsdann die reguläre Matrix
(8) V = Q1U“1Q-1,

so folgt aus (6) und (7)
(9) P1==VPU, Q,1 = VQ,U.

Hieraus läßt sich aber schließen, daß das Paar Px, Qx aus
P, Q simultan durch kogrediente Transformationen hervorgeht,
daß also Gleichungen der Form (3) bestehen. Es gilt nämlich nach
Frobenius3) der — ohne die Verwendung der Elementarteilertheorie
beweisbare —

x) G. Frobenius, Über die mit einer Matrix vertauschbaren Matrizen.
Sitzungsber. der Berl. Akad. d. Wissensch., math.-phys. Klasse, 1910, I, § 3.
Will man die JORDAN sehe Normalform einer Matrix benutzen, so folgt der Satz
unmittelbar; vgl. etwa:
2) J. Wellstein, Über symmetrische, alternierende und orthogonale
Normalformen von Matrizen. Crelles Journal für d. r. u. a. Mathern. Bd. 164
(voraussichtlich), § 3.
3) G. Frobenius, Über die cogredienten Transformationen der bilinearen
Formen. Sitzungsber. der Berl. Akad. d. Wissensch., math.-phys. Klasse 1896,
II, § 2.