Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 Julius Wellstein : Zur Klassifikation der regulären Scharen usw.

Resultat über reelle Formenscharen, die eine reguläre definite Form
enthalten1). Die Matrizenpaare P, Q und iß, D sind reell äquivalent.
6. Für die hier geleistete Klassifizierung der Scharen quadra-
tischer Formen ist die Abbildung der Matrizenpaare einer Familie
auf die Matrizen einer Klasse charakteristisch, ein Verfahren, das
G. Kowalewski bei einem verwandten Problem — der simultanen
Transformation von zwei Bilinearformen — angewandt hat2);
außerdem verlangt die vorliegende Aufgabe die Heranziehung des
Frobeniussehen Satzes F. Diese Abbildung, die hier nur als ein
Hilfsmittel erscheint, läßt sich aber als naturgemäß begründen.
Deutet man nämlich die quadratischen Grundformen einer Schar
als Gleichungen von Hyperflächen zweiten Grades in einem pro-
jektiven Raume Rh_1, so sind mit diesen Gebilden polare Korre-
lationen verknüpft, deren Aufeinanderfolge eine Kollineation be-
stimmt, deren Matrix A = Q—1P ist, und es liegt nun nahe, die
Kollineationen zu untersuchen, die durch je zwei Flächen der Schar
bestimmt sind. Wie mir Herr Baldus mitteilt, gelangt man so
auf rein geometrischem Wege zu der Aussage des Satzes II; Herr
B. will hierauf für den R2 und R3 in einer demnächst erscheinenden
Arbeit „Zur Kassifikation der Büschel von Kurven und Flächen
zweiten Grades“ näher eingehen. Bedenkt man nun, daß die Klassi-
fikation der (reellen und komplexen) Kollineationen sich geome-
trisch höchst einfach nach einem rekurrenten Verfahren, unter
Benutzung ganz elementarer algebraischer Hilfsmittel, durchführen
läßt3), so liegt nun eine bequeme Methode vor, auch die Büschel
von Kurven und Flächen zweiten Grades in Klassen einzuteilen.
Die hier mitgeteilte Ableitung will dagegen nur algebraische und
arithmetische Hilfsmittel verwenden.
Karlsruhe, im Juni 1930.
9 Vgl. die zusammenfassende Darstellung in P. Muth, Theorie und An-
wendung der Elementarteiler. Leipzig 1899. S. 122 und S. 184.
2) G. Kowalewski, Natürliche Normalformen linearer Transformationen.
Leipziger Berichte, math.-phys. Klasse, Bd. 69 (1917), S. 325—335, insbesondere
S. 332—334. Diese natürlichen, d. h. auf rationalem Wege erreichbaren, Normal-
formen kommen hier nicht in Frage, da der Satz F den Fundamentalsatz der
Algebra voraussetzt.
3) R. Baldus, Zur Klassifikation der ebenen und räumlichen Kollineationen.
Münchener Sitzungsberichte, math.-phys. Klasse, Jahrgang 1928, S. 375—395.
Darin sind die Betrachtungen für den Rx, R2, R3 durchgeführt; nach S. 377
sind sie auf höhere Räume übertragbar.