Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

zum Gegenwinkel ist. Es gibt hier zwei Arten von Diagonalen,
n
nur die größeren sind gleich —. Durch Verlängern zweier Seiten,
die durch eine getrennt sind, entsteht das überschlagene Siebeneck
erster Ordnung, seine Ecken sind Pole zu den kleinen Diagonalen,
denn die Verbindungslinie zweier Punkte ist Polare zum Schnitt-
punkt der Polaren der beiden Punkte. Die Ecken der überschlagenen

Siebenecke zweiter und dritter Ordnung haben die Diagonale

gemeinsam als Polare, sie sind also rechtwinklig. Alle Siebenecke
lassen sich in einem Zug zeichnen. Die schraffierten Figuren in
Abb. 1 enthalten beide alle sieben Stücke des Polygons, sind also
komplementär. Das Ganze sei als Komplementärkomplex bezeichnet.
Sei die Summe aller Seiten des Polygons gleich u, so ist die Summe
seiner Winkel In— u, also der Inhalt:

i = 7v •— u ■— on.

(1) i + u = 2n.
Um den Inhalt vom ganzen Komplex zu erhalten, ist von
den sieben Zweiecken, also von 7n das innere Siebeneck sechsmal
abzuziehen, die Vierecke dagegen je zweimal, denn sie treten erstens
einzeln auf, zweitens gehört jedes zwei benachbarten Fünfecken
als Teil an (Figur).
Viereck BCDK = b + d+ jr + c+ — — 2n = d + b + c — —.
Der Inhalt aller Vierecke:
7
'i-, = 3u ■—• — n.
1 2
Daher der ganze Komplex:
I = In — 61 — 2ir = In — 6 (2n — u) — 2 ^3u ■-—
(2) I = 2n.
Die Formeln 1 und 2 gelten für jedes n (n ungerade).
Der Beweis ist analog.
Als Beziehung zwischen den Seiten des Siebenecks findet
man dadurch, daß BD zweimal ausgedrückt wird, einmal im Dreieck
DKB, dann im Dreieck DCB:
(3) sin a sin e = cos / cos g — sin / sin g cos c.