Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Ernst Roeser:

Setzt man a = am u, ß = am v, so ist y = am (u —v).
Ferner- sei
(3) A y = cos v, dann folgt:

sin v
sin y
und rist der Winkel des sphärischen Dreiecks a ß y. Die Gleichungen
behalten einen Sinn, wenn fc > 1 wird, wie man leicht zeigt, wenn
man zum Supplementär-(Polar-)Dreieck übergeht.
Durch die Substitution:

(5)

sin a = itg a

geht man zu Funktionen mit imaginärem Argument über und findet
die imaginäre Periode. Gibt man der Gleichung 5 einen reellen
Sinn, indem man setzt:
q/
(6) sin a = i tg — = th a',
i

so erhält man den Cosinussatz der hyperbolischen Geometrie.
Und es ist:

a =-II («/). Es folgt:
2
d a d a'
]/1 — k2 sin2 a ]/ 1 + fc'2 sh2 a'
Wenn es sich um hyperbolische Funktionen handelt, sei das
Zeichen Ax eingeführt durch die Gleichung:

(a) = ]/ 1 — k2 sh2 a = A ßa, ik). Dann wird:

,-z-]'1k'2 sh2 c
(7) Ay=l/1— k2sin2y=] 1 — k2th2c' =---
’ cli c
und umgekehrt:
A y cos v
(8) Ar (c’, ik') = A y • eh c’ —-==-.
cos y cos y

cli c'

Die Gleichungen 1 und 2 werden:
(9) =F1(F).
(10) ch c' = cli cd eh b' — sh a' sh b' Ax (c', ik'ß

Je nachdem, ob A± kleiner oder größer als 1 ist, bezieht sich Gleichung
10 auf ein hyperbolisches Dreieck oder rechtwinkliges Sechseck.