Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Schmidt:

Die linken Streckenendpunkte der gegebenen Folge seien mit A„,
die rechten mit B„ bezeichnet.
Auf einer vorgelegten Strecke der Länge 5 liegt mindestens ein
Punkt; die nichtgrößere der durch ihn abgeteilten Teilstrecken be-
$
sitzt eine Länge t<f>- Die Strecke A1B-l läßt sich mit endlich
vielen aneinandergrenzenden Intervallen der Länge t überdecken.
Unter denjenigen Teilpunkten einer so entstehenden Unterteilung
11 der Strecke A-^B^ die von der monoton nach rechts gehenden
(Bj-nicht überschreitenden) Punktfolge Av überschritten werden,
ist einer am weitesten rechts gelegen. Dieser ist linker Endpunkt
eines Intervalls Jx von U, in welchem von einem Index vr ab alle
Av liegen. Entsprechend ergibt sich die Existenz eines Intervalls 72
von 11, in dem von einem Index r2 ab alle Bv liegen. Zwischen Jr
und J2 kann kein weiteres Intervall von II liegen, da ein solches
in allen Strecken AVBV enthalten wäre. Vom größeren der beiden
Indizes r2 ab haben mithin alle Strecken AVBV eine Länge, die
kleiner als 2t <s ist.
2. Ebenfalls im zweiten Teil der Abhandlung „Zur Axiomatik
der Geometrie III“ wird eine topologische Fassung des Cantor-
schen Axioms gebracht, die hier in folgender Weise formuliert sei1):
Liegt jede Strecke einer Streckenfolge auf der vorhergehenden
Strecke., so gibt es einen Punkt, der auf allen Strecken der Folge
liegt.
Es gilt nun der Satz:
In jeder metrischen Geometrie ist die topologische Fassung des
Cantorschen Axioms äquivalent mit dem folgenden Axiomenpaar:
a) CANTORSch.es Axiom in der üblichen (metrischen) Fassung:
Liegt jede Strecke einer Streckenfolge auf der vorhergehenden
Strecke und konvergieren die Längen der Strecken gegen Null, so gibt
es einen Punkt, der auf allen Strecken liegt;
b) Gibt es zu einer Streckenfolge, deren jede Strecke auf der vor-
hergehenden liegt, keine Strecke, die auf allen Strecken der Folge liegt,
so konvergieren die Längen der Strecken dieser Folge gegen Null.

x) Diese Formulierung ist äquivalent der BALDUSschen Formulierung:
„Liegt in einer Geraden eine unendliche Folge von Strecken A,,BV derart, daß
jede dieser Strecken ihre Endpunkte innerhalb der vorhergehenden hat und
daß es keine Strecke gibt, die innerhalb aller Strecken ArBv liegt, dann gibt
es einen Punkt, der innerhalb aller Strecken AVBV liegt.“