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https://doi.org/10.11588/diglit.43630#0006
6
Arnold Schmidt:
der topologischen Fassung des CANTORSchen Axioms x) das Archi-
medische Axiom folgt 1 2).
3. Der erste Teil der Abhandlung „Zur Axiomatik der Geo-
metrie III“ ist der Frage der Zurückführbarkeit des Archimedischen
Axioms auf zwei engere Axiome gewidmet, die hier als erstes bzw.
zweites engeres Archimedisches Axiom bezeichnet seien:
Es gibt eine Strecke, zu der sich jede kleinere archimedisch
verhält]
Es gibt eine Strecke, die sich zu jeder größeren archimedisch
verhält.
Bei der Besprechung der Rolle dieser Axiome in der Veronese-
schen, aus abzahlbar vielen Geraden bestehenden linearen nichtarchi-
medischen Geometrie findet sich a. a. 0. ein Irrtum. Die dort als
Strecken der zweiten Art bezeichneten Strecken sind bei keiner
Wahl der Einheitsstrecke unendlich klein; und es gibt, wenn eine
Strecke der zweiten Art endlich ist, keine unendlich großen Strecken
auf der Geraden.
Nachdem dort weiter bewiesen worden ist, daß sich in einer
ebenen oder räumlichen metrischen Geometrie das volle Archi-
medische Axiom auf das erste engere Archimedische Axiom zurück-
führen läßt, erwähnt Herr Baldus (wie auch bereits in der Ab-
1) Daß das Archimedische Axiom von den linearen, ebenen und räum-
lichen Axiomen der Gruppen I —IV und der metrischen Fassung des CANTORschen
Axioms unabhängig ist, ergibt sich nach Berkays aus einer nichtarchime-
dischen Geometrie, die von Hilbert in verschiedenen Vorlesungen gebracht
wurde. Dieser Geometrie liegt der Körper zugrunde, den die Potenzreihen
E av tn+v mit ganzem Anfangsexponenten n'pAj und reellen Koeffizien-
o
ten av bilden, wenn die Rechenoperationen formal (ohne Rücksicht auf Kon-
vergenz) ausgeführt werden. Gehören u und v zum Körper, so gehört auch
]/w2 + f2 | zum Körper. Für zwei Potenzreihen u, v gilt u>v, wenn der
Anfangskoeffizient von u — v positiv ist. — Aus diesem Körper läßt sich auf
die in Hilbert: „Grundlagen der Geometrie“, § 9, beschriebene Weise eine räum-
liche Geometrie aufbauen. In ihr gelten alle Axiome der Gruppen I—IV und
das metrische Cantorsche Axiom-, dagegen gibt es zu jeder Strecke s eine größere
und eine kleinere, die sich zu s nichtarchimedisch verhalten. Somit sind auch
die (in Nr. 3 aufgeführten) ,engeren Archimedischen Axiome' von den Axiomen
I—IV und dem metrischen Cantorschen Axiom unabhängig.
2) Wie mir Herr Professor Baldus bei Einsicht dieser Note mitteilt,
hat er den im Texte des letzten Absatzes von Nr. 2 ausgeführten Tatbestand
bereits selbst bemerkt.
Arnold Schmidt:
der topologischen Fassung des CANTORSchen Axioms x) das Archi-
medische Axiom folgt 1 2).
3. Der erste Teil der Abhandlung „Zur Axiomatik der Geo-
metrie III“ ist der Frage der Zurückführbarkeit des Archimedischen
Axioms auf zwei engere Axiome gewidmet, die hier als erstes bzw.
zweites engeres Archimedisches Axiom bezeichnet seien:
Es gibt eine Strecke, zu der sich jede kleinere archimedisch
verhält]
Es gibt eine Strecke, die sich zu jeder größeren archimedisch
verhält.
Bei der Besprechung der Rolle dieser Axiome in der Veronese-
schen, aus abzahlbar vielen Geraden bestehenden linearen nichtarchi-
medischen Geometrie findet sich a. a. 0. ein Irrtum. Die dort als
Strecken der zweiten Art bezeichneten Strecken sind bei keiner
Wahl der Einheitsstrecke unendlich klein; und es gibt, wenn eine
Strecke der zweiten Art endlich ist, keine unendlich großen Strecken
auf der Geraden.
Nachdem dort weiter bewiesen worden ist, daß sich in einer
ebenen oder räumlichen metrischen Geometrie das volle Archi-
medische Axiom auf das erste engere Archimedische Axiom zurück-
führen läßt, erwähnt Herr Baldus (wie auch bereits in der Ab-
1) Daß das Archimedische Axiom von den linearen, ebenen und räum-
lichen Axiomen der Gruppen I —IV und der metrischen Fassung des CANTORschen
Axioms unabhängig ist, ergibt sich nach Berkays aus einer nichtarchime-
dischen Geometrie, die von Hilbert in verschiedenen Vorlesungen gebracht
wurde. Dieser Geometrie liegt der Körper zugrunde, den die Potenzreihen
E av tn+v mit ganzem Anfangsexponenten n'pAj und reellen Koeffizien-
o
ten av bilden, wenn die Rechenoperationen formal (ohne Rücksicht auf Kon-
vergenz) ausgeführt werden. Gehören u und v zum Körper, so gehört auch
]/w2 + f2 | zum Körper. Für zwei Potenzreihen u, v gilt u>v, wenn der
Anfangskoeffizient von u — v positiv ist. — Aus diesem Körper läßt sich auf
die in Hilbert: „Grundlagen der Geometrie“, § 9, beschriebene Weise eine räum-
liche Geometrie aufbauen. In ihr gelten alle Axiome der Gruppen I—IV und
das metrische Cantorsche Axiom-, dagegen gibt es zu jeder Strecke s eine größere
und eine kleinere, die sich zu s nichtarchimedisch verhalten. Somit sind auch
die (in Nr. 3 aufgeführten) ,engeren Archimedischen Axiome' von den Axiomen
I—IV und dem metrischen Cantorschen Axiom unabhängig.
2) Wie mir Herr Professor Baldus bei Einsicht dieser Note mitteilt,
hat er den im Texte des letzten Absatzes von Nr. 2 ausgeführten Tatbestand
bereits selbst bemerkt.