Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Reinhold Baer und Friedrich Levi:

A2, so muß A2 das Original des (in 53 willkürlichen) Elemen-
tes A bezüglich ß2 sein. ß2 ist also durch ß12 und ßx höchstens
eindeutig bestimmt. Für die ß gelten also auch die Axiome und
Uc. Es ist aber @c nicht erfüllt. Damit ist die Unvollständigkeit
des Axiomsystems 21, Ga, (£ö, lla, IXC und mithin die Notwendigkeit
der Bedingung 4 bewiesen.

§ 3. Hinreichende Bedingungen der Vollständigkeit von 27.
Es handelt sich um den folgenden
Satz 1. Ein System E, das den Bedingungen 1 bis 4 von § 2
genügt, ist vollständig.
Beweis: Ein den vier Bedingungen genügendes System muß
mindestens eines der folgenden fünf Teilsysteme enthalten:


«.(' '• st


2^

Wegen der Symmetrie der Hechts- und Linksdivision erübrigt
sich die Untersuchung der rechten Hauptspalte von (3).
1. 27 enthält 21, Ua, ©„ (Sc.
Es seien d und e zwei beliebige Elemente. Nach und (Sc
gibt es dann Elemente d°, f, g, die folgenden Bedingungen genügen:

d.° ■ d = d, d° • f = e, d • g = f.

Dann ist: e = d° • (d • g), f = (d° • d) • g. Da die beiden Ausdrücke
auf der rechten Seite existieren und (wegen Ua) eindeutig bestimmt
sind, so ist (nach 21) f = e = d° • f — d° • e. Also ist d° Linkseinheit
für alle Elemente von 2F. Wegen und (Sc existieren ferner Ele-
mente d~\h,k, die den Bedingungen genügen:
d_1 • d = d°, dTX ■ h = e, d • k = h.
Dann ist e = d 1 • (d • lt) und k—d • k = (d • d) • k, also (nach 21)
k = e, d. h. h = d • e.
Da d und e willkürliche Elemente sind, ist hiermit bewiesen.
Aus 21, Ua, ßc folgen dann Uö und Uc in bekannter
Weise. Ist nämlich a = b • c, so gibt es ein W1, so daß b 1 ■ b = d^
ist, und es gilt:
b~r • a = b~r • (b ■ c} = cP ■ c = c.