DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0009
Vollständige irreduzibele Systeme von Gruppenaxiomen
9
Es ist also c durch a und b eindeutig bestimmt, also Uc gültig.
Aus Symmetriegründen folgt dann die Gültigkeit von 8).
2. 27 enthält 91, G„, (Sö, llc und (Sc oder Uö.
Da 11„ nicht vorausgesetzt wird, ist es von vornherein nicht
ausgeschlossen, daß es mehrere Produkte b ■ c gibt. Ist a eines
dieser Produkte, so soll das durch
b • o a
gekennzeichnet werden. Bedeuten 23n 232, 233, 234 Teilmengen
von 3k (die etwa durch iterierte Komposition aus gewissen Ele-
menten entstanden sind), so bedeutet:
23X>232,
daß 232 eine (echte oder unechte) Teilmenge von 23x ist. 23x • 232
ist im Sinne der Multiplikation von Gruppenteilen zu verstehen;
insbesondere bedeutet b • c die Menge aller Produkte, deren linker
Faktor b und deren rechter Faktor c ist. Da 21 und gelten, kann
man alle Klammern in den Formeln weglassen. Von nachstehenden
Schlüssen wird im Folgenden mehrfach Gebrauch gemacht:
(<%) Aus 23x > 232, 233 > 234 folgt 234 • 233 > 232 • 234.
(ß) ,, a • b > a • c „ b — c.
(y) ,, a • 23 > m, a • c > m ,, 23 > c.
(ß) und (y) sind unmittelbare Folgen von Uc.
Es wird nun gezeigt, daß in den hier betrachteten beiden Fällen
für jedes Element d die Gleichung d • x > d eine Lösung hat. Das
ist evident, wenn ©c zum Axiomsystem gehört; ist aber Uö das
fünfte Axiom, so kann man folgendermaßen schließen: Es gibt
zu d ein d°, so daß d° • d> d ist. Dann ist d • d° • d> d • d, und
wegen 1IÖ ist d • d° > d. Es genügt daher, folgenden etwas weniger
voraussetzenden Hilfsatz zu beweisen:
Hilfsatz: Sind 91, (Sfl, Uc in 3k erfüllt und gibt es in 3k zwei
Elemente d und 7, die d • 1 > d erfüllen, so istiffl eine Gruppe.
Beweis: Ist e beliebig, so gilt: d-1 -e>d-e, also nach (y)
1 ■ e > e. Wegen gibt es ein f, so daß f -e> d, also
f ■ e ■ 1 > d • 1 > d ist. Nach (y) ist also
e • 7 > e.
Mithin ist 7 Bechts- und Linkseinheit aller Elemente von 3k. Wegen
Uc ist 7 eindeutig bestimmt.
8) Damit ist die von E. V. Huntington gestellte Frage (vgl. Anm. 4))
erledigt; denn das dort mit V bezeichnete Axiom ist umfassender als 2t.
9
Es ist also c durch a und b eindeutig bestimmt, also Uc gültig.
Aus Symmetriegründen folgt dann die Gültigkeit von 8).
2. 27 enthält 91, G„, (Sö, llc und (Sc oder Uö.
Da 11„ nicht vorausgesetzt wird, ist es von vornherein nicht
ausgeschlossen, daß es mehrere Produkte b ■ c gibt. Ist a eines
dieser Produkte, so soll das durch
b • o a
gekennzeichnet werden. Bedeuten 23n 232, 233, 234 Teilmengen
von 3k (die etwa durch iterierte Komposition aus gewissen Ele-
menten entstanden sind), so bedeutet:
23X>232,
daß 232 eine (echte oder unechte) Teilmenge von 23x ist. 23x • 232
ist im Sinne der Multiplikation von Gruppenteilen zu verstehen;
insbesondere bedeutet b • c die Menge aller Produkte, deren linker
Faktor b und deren rechter Faktor c ist. Da 21 und gelten, kann
man alle Klammern in den Formeln weglassen. Von nachstehenden
Schlüssen wird im Folgenden mehrfach Gebrauch gemacht:
(<%) Aus 23x > 232, 233 > 234 folgt 234 • 233 > 232 • 234.
(ß) ,, a • b > a • c „ b — c.
(y) ,, a • 23 > m, a • c > m ,, 23 > c.
(ß) und (y) sind unmittelbare Folgen von Uc.
Es wird nun gezeigt, daß in den hier betrachteten beiden Fällen
für jedes Element d die Gleichung d • x > d eine Lösung hat. Das
ist evident, wenn ©c zum Axiomsystem gehört; ist aber Uö das
fünfte Axiom, so kann man folgendermaßen schließen: Es gibt
zu d ein d°, so daß d° • d> d ist. Dann ist d • d° • d> d • d, und
wegen 1IÖ ist d • d° > d. Es genügt daher, folgenden etwas weniger
voraussetzenden Hilfsatz zu beweisen:
Hilfsatz: Sind 91, (Sfl, Uc in 3k erfüllt und gibt es in 3k zwei
Elemente d und 7, die d • 1 > d erfüllen, so istiffl eine Gruppe.
Beweis: Ist e beliebig, so gilt: d-1 -e>d-e, also nach (y)
1 ■ e > e. Wegen gibt es ein f, so daß f -e> d, also
f ■ e ■ 1 > d • 1 > d ist. Nach (y) ist also
e • 7 > e.
Mithin ist 7 Bechts- und Linkseinheit aller Elemente von 3k. Wegen
Uc ist 7 eindeutig bestimmt.
8) Damit ist die von E. V. Huntington gestellte Frage (vgl. Anm. 4))
erledigt; denn das dort mit V bezeichnete Axiom ist umfassender als 2t.