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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0012
12 Reinhold Baer und Friedrich Levi: Vollständige irreduzibele Systeme
Irreduzibel sind also diejenigen vollständigen Systeme 2", die
aus jeder Spalte genau ein Axiom enthalten.
Im Beweise von Satz 2 ist vom Assoziativgesetz kein Gebrauch
gemacht worden. Es sind also vom Endlichkeitsaxiom und drei auf
alle Zeilen und Spalten von (2) verteilten Axiomen die drei andern
Axiome (2) abhängig. Das Endlichkeitsaxiom ist hierbei nicht ent-
behrlich, denn es gilt der
Satz 3: Die sechs Axiome (2) sind von einander unabhängig.
Beweis: a, b, c durchlaufe alle ganzen Zahlen und a sei das
Kompositum von b und c, wenn
(4) 2a + b + c = 0
gilt. Für diese Komposition gelten die Axiome (2) außer 6a. Läßt
man a, b, c alle rationalen Zahlen (mod 1) durchlaufen und versteht
die Gleichung (4) als Kongruenz mod 1, so gelten alle Axiome
außer Ua. Die Unabhängigkeit der vier anderen Axiome erhält
man durch Vertauschung von a, b, c.
Irreduzibel sind also diejenigen vollständigen Systeme 2", die
aus jeder Spalte genau ein Axiom enthalten.
Im Beweise von Satz 2 ist vom Assoziativgesetz kein Gebrauch
gemacht worden. Es sind also vom Endlichkeitsaxiom und drei auf
alle Zeilen und Spalten von (2) verteilten Axiomen die drei andern
Axiome (2) abhängig. Das Endlichkeitsaxiom ist hierbei nicht ent-
behrlich, denn es gilt der
Satz 3: Die sechs Axiome (2) sind von einander unabhängig.
Beweis: a, b, c durchlaufe alle ganzen Zahlen und a sei das
Kompositum von b und c, wenn
(4) 2a + b + c = 0
gilt. Für diese Komposition gelten die Axiome (2) außer 6a. Läßt
man a, b, c alle rationalen Zahlen (mod 1) durchlaufen und versteht
die Gleichung (4) als Kongruenz mod 1, so gelten alle Axiome
außer Ua. Die Unabhängigkeit der vier anderen Axiome erhält
man durch Vertauschung von a, b, c.