Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

trizenklasse, also zur Deutung der im algebraischen Fall für die
Normalform charakteristischen Invarianten.
Steinitz hat seine matrizentheoretischen Sätze sofort zum
Studium von Linearformenmoduln und verallgemeinerten Abel-
schen Gruppen im Bereich der ganzen algebraischen Zahlen be-
nutzt la). Diese Anwendungen bilden den Hauptinhalt seiner
zweiten Arbeit, die inhaltlich sehr bedeutend, aber nur sehr schwer
lesbar ist, weil zur Zeit ihrer Abfassung die Terminologie der
verallgemeinerten Abelschen Gruppen noch nicht ausgebildet war.
Es schien daher nötig, auch diese Steinitzschen Untersuchungen
mit möglichst einfachen Beweisen im Zusammenhänge kurz wieder-
zugeben, obwohl es sich teilweise um Dinge handelt, die heute
wohlbekannt und bereits in die Lehrbuchliteratur eingegangen sind.
Dabei zeigt sich vor allem, daß die Bedeutung der Steinitzschen
Untersuchungen für die Gruppentheorie bisher nicht genügend ge-
würdigt wurde. Steinitz behandelt nämlich verallgemeinerte
Abelsche Gruppen mit ganzen algebraischen Zahlen als Multiplikatoren
unter der Voraussetzung des „Obergruppenkettensatzes“ und aus
seinen Zerlegungssätzen ergibt sich, daß für solche Gruppen der
von den gewöhnlichen endlichen Abelschen Gruppen her wohl-
bekannte „Isomorphiesatz der direkten Zerlegung“ i. a. nicht mehr
gilt. Bereits bei Steinitz findet sich also die Entscheidung einer
noch in der letzten Zeit diskutierten Streitfragelb).
§ 1. Idealtlieoretische Vorbemerkungen.
Unter 9t verstehen wir im folgenden einen Hauptidealring,
d. h. einen Integritätsbereich vom Typus der ganzen rationalen
Zahlen, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, und in dem infolgedessen
jedes Element bis auf Einheitsfaktoren eindeutig als Produkt von
Potenzen endlich vieler paarweise teilerfremder Primelemente
dargestellt werden kann. 95 dagegen bedeutet einen Multiplikations-
ring, d. h. einen Integritätsbereich vom Typus der ganzen al-
ia) Ein Teil der Steinitzschen Modulsätze findet sich bereits in einer aus
dem Jahre 1895 stammenden Arbeit von R. Dedekind: Über eine Erweite-
rung des Symbols (ct, b) in der Theorie der Moduln, Gesammelte Werke, Bd. II
S. 59—86; vgl. insbesondere § 5.
Im übrigen verfolgt Dedekind in seiner Abhandlung wesentlich zahlen-
theoretische Ziele. Die Steinitzschen Hauptsätze über Matrizen und beliebige
verallgemeinerte Abelsche Gruppen finden sich bei ihm nicht.
ib) Vgl. z. B.: Alexander Kurosch: Zur Zerlegung unendlicher Gruppen,
Math. Annalen 106 (1932) S. 107 f.