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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0016
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Wolfgang Krull:
den Bereich der Potenzprodukte der Primidealteiler von a aus $8
abgebildet. Oder anders und vielleicht anschaulicher ausgedrückt:
Beim Übergang von iß zu 05a werden alle zu a teilerfremden Prim-
ideale zum Einheitsideal, sonst ändert sich nichts.
Aus dem bisherigen ergibt sich bereits, daß 05a ebenso wie iß
ein Multiplikationsring ist. Aus der Tatsache, daß in 05a nur endlich
viel Primideale existieren, folgt weiter, daß 05a sogar Hauptidealring
ist, also in die Klasse 9t gehört5). — Schließlich ist über den Zu-
sammenhang zwischen 05 und 05a noch zu bemerken: In 05a ist jedes
Element a modulo eines beliebigen Ideals ca =j= (0) stets einem
Elemente a aus 05 kongruent. Daraus folgt insbesondere: Ist
n
PS aikxk + «in+1 =0 (i — 1, . . . m) ein lineares inhomogenes, in
05o lösbares Gleichungssystem mit Koeffizienten aik aus 05, so kann
n
man in 05 stets die Elemente zk so wählen, daß aikzk + ain+1= 0
(c) (i — I, . . . m) wird, falls c das Verengungsideal irgend eines ca,
z. B. des Ideal n selbst bedeutet.
§ 2. Grundbegriffe aus der Matrizentheorie.
Unter bzw. M(, verstehen wir die Gesamtheit aller Matrizen
A = || aik II von endlich viel Zeilen und Spalten mit Koeffizienten
aik aus 9t bzw. 05. Die Definitionen von § 2 gelten gleichmäßig für
und Bei einer quadratischen Matrix bezeichnen wir die
gemeinsame Zahl der Zeilen und Spalten als den „Grad“. En be-
deutet die Einheitsmatrix n-ten Grades:
. Diese Feststellung gestattet es,
Pn o
0 En-m\
En— II ^ik II (G — 1, ... n; <5it |
Eine quadratische Matrix P„vom n-ten Grade heißt „unimodular“
oder „u-Matrix“ wenn sie in bzw. eine Reziproke Pp1 besitzt,
die der Gleichung Pn P~y = En genügt; Pn ist dann und nur dann
u-Matrix, wenn die Determinante i Pn | in 9t bzw. 05 eine Einheit
darstellt. Zwei u-Matrizen Pn und Pm (m > z?) sollen „zz-gleich“
genannt und als nicht wesentlich verschieden angesehen werden,
wenn Pm aus Pn durch Anhängung der Einheitsmatrix m — zz-ten
Grades entsteht: Pm
die Multiplikation zweier iz-Matrizen Pn und Qm auch im Falle ver-
schiedener Gradzahlen n und m auszuführen; man hat zu diesem
5) Vgl. die in Anm. 3 zitierte Grellsche Arbeit, S. 535 Satz II.
Wolfgang Krull:
den Bereich der Potenzprodukte der Primidealteiler von a aus $8
abgebildet. Oder anders und vielleicht anschaulicher ausgedrückt:
Beim Übergang von iß zu 05a werden alle zu a teilerfremden Prim-
ideale zum Einheitsideal, sonst ändert sich nichts.
Aus dem bisherigen ergibt sich bereits, daß 05a ebenso wie iß
ein Multiplikationsring ist. Aus der Tatsache, daß in 05a nur endlich
viel Primideale existieren, folgt weiter, daß 05a sogar Hauptidealring
ist, also in die Klasse 9t gehört5). — Schließlich ist über den Zu-
sammenhang zwischen 05 und 05a noch zu bemerken: In 05a ist jedes
Element a modulo eines beliebigen Ideals ca =j= (0) stets einem
Elemente a aus 05 kongruent. Daraus folgt insbesondere: Ist
n
PS aikxk + «in+1 =0 (i — 1, . . . m) ein lineares inhomogenes, in
05o lösbares Gleichungssystem mit Koeffizienten aik aus 05, so kann
n
man in 05 stets die Elemente zk so wählen, daß aikzk + ain+1= 0
(c) (i — I, . . . m) wird, falls c das Verengungsideal irgend eines ca,
z. B. des Ideal n selbst bedeutet.
§ 2. Grundbegriffe aus der Matrizentheorie.
Unter bzw. M(, verstehen wir die Gesamtheit aller Matrizen
A = || aik II von endlich viel Zeilen und Spalten mit Koeffizienten
aik aus 9t bzw. 05. Die Definitionen von § 2 gelten gleichmäßig für
und Bei einer quadratischen Matrix bezeichnen wir die
gemeinsame Zahl der Zeilen und Spalten als den „Grad“. En be-
deutet die Einheitsmatrix n-ten Grades:
. Diese Feststellung gestattet es,
Pn o
0 En-m\
En— II ^ik II (G — 1, ... n; <5it |
Eine quadratische Matrix P„vom n-ten Grade heißt „unimodular“
oder „u-Matrix“ wenn sie in bzw. eine Reziproke Pp1 besitzt,
die der Gleichung Pn P~y = En genügt; Pn ist dann und nur dann
u-Matrix, wenn die Determinante i Pn | in 9t bzw. 05 eine Einheit
darstellt. Zwei u-Matrizen Pn und Pm (m > z?) sollen „zz-gleich“
genannt und als nicht wesentlich verschieden angesehen werden,
wenn Pm aus Pn durch Anhängung der Einheitsmatrix m — zz-ten
Grades entsteht: Pm
die Multiplikation zweier iz-Matrizen Pn und Qm auch im Falle ver-
schiedener Gradzahlen n und m auszuführen; man hat zu diesem
5) Vgl. die in Anm. 3 zitierte Grellsche Arbeit, S. 535 Satz II.