Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull:

El+1 (Em+1) dadurch entsteht, daß wir in der letzten Zeile (Spalte)
die Nullen durch die Elemente c1? c2, . . . cz (d1; d2, . . . dm) ersetzen,
so wird im Sinne der allgemeinen Produktdefinition Ar = P • A
(Ä(1) = A ■ Q). D. h. aber: Man kann der Matrix A durch vordere
(hintere) Multiplikation mit einer e-Matrix stets eine Linearkombi-
nation ihrer Zeilen (Spalten) als neue Zeile (Spalte) anhängen; ge-
rade von dieser Operation werden wir oft Gebrauch machen müssen.
Die Grundlage für alle weiteren Untersuchungen liefert die
folgende Definition:
Zwei beliebige Matrizen A und B aus M,.(My) sollen dann und nur
dann äquivalent heißen, wenn in (M,,) zwei u-Matrizen P und Q
so bestimmt werden können, daß die Gleichungen PAQ=B, B=P~lAQ~1
gelten.
Wir suchen nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen
für die Äquivalenz zweier Matrizen, und führen dabei zunächst
in üblicher Weise den Begriff der Determinantenteiler (D. T.) und
Elementarteiler (E. T.) einer Matrix ein. Hat A den Bang r, so
verstehen wir für i = 1, 2, . . . r unter dem i-ten D. T. bf von A
das aus der Gesamtheit aller Unterdeterminanten i-ten Grades
abgeleitete Ideal. b_ wird auch als „höchster“ D. T. von A bezeichnet.
bi ist stets durch bi_1 teilbar, b,- = b^_x • e(- (z = 1, 2 • - • r; b0 = (1));
ez heißt der z-te E. T. von A. D. T. und E. T. bestimmen sich gegen-
seitig eindeutig. Äquivalente Matrizen besitzen nach elementaren
Determinantensätzen stets gleiche D. T. und E. T. 6 7). Es ist jetzt
zu fragen, welche Bedingungen zur E.-T.-Gleichheit hinzukommen
müssen, um die Äquivalenz zweier Matrizen sicherzustellen.
§ 3. Matrizen aus Mr. Inhomogene Gleichungssysteme in 25.
Satz 1. Zwei Matrizen A und B aus Mr sind dann und nur dann
äquivalent, wenn sie gleichen Bang und gleiche E. T. besitzen. — Der
i-te E. T. von A in ist stets durch den i — i-ten teilbar.
Satz 1 ist bekannt. Ein klassischer Beweis verläuft etwa so '):
Hilfssatz 1. Ist e = (ex) der erste E. T. von A, also der gr. g. T.
6) Der Invarianzbeweis verläuft hier grundsätzlich genau so wie bei den
Matrizen aus M,.. Zur Lehrbuchliteratur über die (hier als bekannt voraus-
gesetzte) Theorie der Matrizen aus Mr vgl. insbesondere: Bocher, Einführung
in die höhere Algebra, Kap. XX, sowie: v. d. Waerden, Moderne Algebra II,
Kap. XV § 106. Das Lehrbuch von v. d. waerden, das wir noch öfters zu
erwähnen haben, wird mit ,,v. d. W. II“ zitiert.
7) Gerade dieser Beweis ist auch bei Bocher und v. d. W. II ausgeführt.