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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0019
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
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aller Koeffizienten, so kann man P und Q als Produkte von e-Matrizen
so bestimmen, daß in PAQ = \\bik\\ gerade blk = e± wird.
annimmt.
Hilfssatz 2. Es gibt zwei e-Matrizen Pr und Qk, für die
(Pr-P) -A-(Q ■ Qi) = A • HM • Qi die Gestalt
Hilfssatz 2 stellt eine selbstverständliche Folgerung aus dem
grundlegenden Hilfssatz 1 dar. Er zeigt, daß man die r-rangige
Matrix mit dem ersten E. T. (ex) „zerlegen“ kann in die einrangige
Matrix HeiH und in eine Matrix Ä17 die offenbar den Rang r—1
und einen durch (ex) teilbaren ersten E. T. (e2) besitzen muß. Durch
mehrfache Anwendung von Hilfssatz 2 ergibt sich:
Satz 2. Man kann P und Q als Produkte von e-Matrizen so
bestimmen, daß PAQ — A* — ||e,. • da||; ei¥1 = 0 (eß wird.
Aus dem „Normalformensatz“ 2 folgt sofort der „Äquivalenz-
satz“ 1; denn es stellen offenbar die von (0) verschiedenen unter
den Idealen (eß gerade die E. T. von A* und damit auch von A
dar. — Der skizzierte Beweis des Äquivalenzsatzes für Mz. dient
uns als Vorbild bei der Lösung des Äquivalenzproblems in
Zuerst wird in § 4 der Hilfssatz 1 soweit als möglich von auf
übertragen und durch einige wichtige Folgerungen ergänzt. Auf
Grund der Ergebnisse von § 4 werden dann in § 5 und § 6 Matrizen-
normalformen für Mj, aufgestellt, aus denen man ohne weiteres
die notwendigen und hinreichenden Äquivalenzbedingungen ablesen
kann.
Zur Durchführung der Normaltransformationen brauchen wir
im übrigen noch einen Satz über inhomogene Gleichungssysteme,
der jetzt mit Hilfe des Äquivalenzsatzes 1 abgeleitet werden
soll. Es bedeute 5 ein lineares inhomogenes Gleichungssystem
n
SSaikxk + CL{n+i — 0 (i = 1, . . . m) mit Koeffizienten aus dem
Multiplikationsring Dann gilt:
Satz 3 8). S ist dann und nur dann durch geeignete Elemente
zk = xk aus % lösbar, wenn der Rang r und der höchste D. T. br der
Matrix ||%-ll (i = 1, . . . m-, k — 1, . . . n) durch Anfügung der
Spalte. Il^im+ill (i — 1, . . . m) nicht geändert wird.
aß Ist 3? = 9t ein Hauptidealring, so zeigt man mit Hilfe von
Satz 2: Das Gleichungssystem N ist gleichwertig mit einem ausge-
zeichneten System 5* von der Form eixi + fp = 0 (i = 1, . . . m;
®) St. I., S. 340, No. 21.
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aller Koeffizienten, so kann man P und Q als Produkte von e-Matrizen
so bestimmen, daß in PAQ = \\bik\\ gerade blk = e± wird.
annimmt.
Hilfssatz 2. Es gibt zwei e-Matrizen Pr und Qk, für die
(Pr-P) -A-(Q ■ Qi) = A • HM • Qi die Gestalt
Hilfssatz 2 stellt eine selbstverständliche Folgerung aus dem
grundlegenden Hilfssatz 1 dar. Er zeigt, daß man die r-rangige
Matrix mit dem ersten E. T. (ex) „zerlegen“ kann in die einrangige
Matrix HeiH und in eine Matrix Ä17 die offenbar den Rang r—1
und einen durch (ex) teilbaren ersten E. T. (e2) besitzen muß. Durch
mehrfache Anwendung von Hilfssatz 2 ergibt sich:
Satz 2. Man kann P und Q als Produkte von e-Matrizen so
bestimmen, daß PAQ — A* — ||e,. • da||; ei¥1 = 0 (eß wird.
Aus dem „Normalformensatz“ 2 folgt sofort der „Äquivalenz-
satz“ 1; denn es stellen offenbar die von (0) verschiedenen unter
den Idealen (eß gerade die E. T. von A* und damit auch von A
dar. — Der skizzierte Beweis des Äquivalenzsatzes für Mz. dient
uns als Vorbild bei der Lösung des Äquivalenzproblems in
Zuerst wird in § 4 der Hilfssatz 1 soweit als möglich von auf
übertragen und durch einige wichtige Folgerungen ergänzt. Auf
Grund der Ergebnisse von § 4 werden dann in § 5 und § 6 Matrizen-
normalformen für Mj, aufgestellt, aus denen man ohne weiteres
die notwendigen und hinreichenden Äquivalenzbedingungen ablesen
kann.
Zur Durchführung der Normaltransformationen brauchen wir
im übrigen noch einen Satz über inhomogene Gleichungssysteme,
der jetzt mit Hilfe des Äquivalenzsatzes 1 abgeleitet werden
soll. Es bedeute 5 ein lineares inhomogenes Gleichungssystem
n
SSaikxk + CL{n+i — 0 (i = 1, . . . m) mit Koeffizienten aus dem
Multiplikationsring Dann gilt:
Satz 3 8). S ist dann und nur dann durch geeignete Elemente
zk = xk aus % lösbar, wenn der Rang r und der höchste D. T. br der
Matrix ||%-ll (i = 1, . . . m-, k — 1, . . . n) durch Anfügung der
Spalte. Il^im+ill (i — 1, . . . m) nicht geändert wird.
aß Ist 3? = 9t ein Hauptidealring, so zeigt man mit Hilfe von
Satz 2: Das Gleichungssystem N ist gleichwertig mit einem ausge-
zeichneten System 5* von der Form eixi + fp = 0 (i = 1, . . . m;
®) St. I., S. 340, No. 21.
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