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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0020
20
Wolfgang Krull:
ei+1 = 0 (ej) und am System 5* erkennt man sofort die Richtigkeit
von Satz 3 9).
b) Es sei 53 ein beliebiger Multiplikationsring, die — sicher
notwendige — Bedingung von Satz 3 sei erfüllt, und es sei außerdem
die Numerierung der Gleichungen und Variabein so gewählt, daß
\aik\ — d 4= 0 (i, A; = 1, . . . r) wird, so daß in 5 die m — r letzten
Gleichungen eine Folge der r ersten sind. Gehen wir dann für den
Augenblick von iß zu dem Hauptidealring 53(d) über, so folgt aus
a) die Lösbarkeit von S in 53(d). Nach einer Bemerkung vom Schlüsse
von § 1 kann man daher in 53 die Elemente so bestimmen, daß
n
^aik uk + Gn+i = d • = 0 (d) (i = 1, . . . m). Wegen \aik\ = d
muß ferner die einzige Lösung vk = xk (k = 1, . . . r) des Gleichungs-
r
Systems 12 aikxk + d • ci — 0 (i = 1, . . . r) zu 53 gehören. Setzen
wir nun zk = uk + g (A; = 1, . . . r); zk = uk (k = r + 1, . . . n), so
genügen die Elemente zk= xk den r ersten und damit auch den m—r
letzten Gleichungen von 5, sie bilden also gerade das zum Be-
weise von Satz 3 nötige Lösungssystem.
RA<2 = 7? == ||Z>ijfc|| bereits der erste E. T. der Untermatrix
§ 4. Hilfssätze.
Satz 4. Ist e der erste E. T. der Matrix A — IlGfcll, s0 kann m(m
P und Q als Produkte von e-Matrizen so bestimmen, daß in
^11 ^12
^21 ^22
gleich e wird.
Beim Beweise dürfen und wollen wir von vornherein annehmen,
daß in A die erste Zeile keine Nullzeile ist; denn durch Umordnung
der Zeilen, also durch vordere Multiplikation mit einer e-Matrix
können wir diese Voraussetzung stets realisieren. Wir zeigen zuerst:
Man kann in der e-Matrix
P =
die Elemente e3, e4, . . . so
bereits der erste E. T. der
1 0 0 0...
0 1 e3 e4 . . .
0 0 10...
bestimmen, daß in P -A —C —
zweireihigen Untermatrix
Gi G2 • • •
C21 C22 • •
gleich e wird.
') Vgl. z. B. v. d. W. II, S. 125.
Wolfgang Krull:
ei+1 = 0 (ej) und am System 5* erkennt man sofort die Richtigkeit
von Satz 3 9).
b) Es sei 53 ein beliebiger Multiplikationsring, die — sicher
notwendige — Bedingung von Satz 3 sei erfüllt, und es sei außerdem
die Numerierung der Gleichungen und Variabein so gewählt, daß
\aik\ — d 4= 0 (i, A; = 1, . . . r) wird, so daß in 5 die m — r letzten
Gleichungen eine Folge der r ersten sind. Gehen wir dann für den
Augenblick von iß zu dem Hauptidealring 53(d) über, so folgt aus
a) die Lösbarkeit von S in 53(d). Nach einer Bemerkung vom Schlüsse
von § 1 kann man daher in 53 die Elemente so bestimmen, daß
n
^aik uk + Gn+i = d • = 0 (d) (i = 1, . . . m). Wegen \aik\ = d
muß ferner die einzige Lösung vk = xk (k = 1, . . . r) des Gleichungs-
r
Systems 12 aikxk + d • ci — 0 (i = 1, . . . r) zu 53 gehören. Setzen
wir nun zk = uk + g (A; = 1, . . . r); zk = uk (k = r + 1, . . . n), so
genügen die Elemente zk= xk den r ersten und damit auch den m—r
letzten Gleichungen von 5, sie bilden also gerade das zum Be-
weise von Satz 3 nötige Lösungssystem.
RA<2 = 7? == ||Z>ijfc|| bereits der erste E. T. der Untermatrix
§ 4. Hilfssätze.
Satz 4. Ist e der erste E. T. der Matrix A — IlGfcll, s0 kann m(m
P und Q als Produkte von e-Matrizen so bestimmen, daß in
^11 ^12
^21 ^22
gleich e wird.
Beim Beweise dürfen und wollen wir von vornherein annehmen,
daß in A die erste Zeile keine Nullzeile ist; denn durch Umordnung
der Zeilen, also durch vordere Multiplikation mit einer e-Matrix
können wir diese Voraussetzung stets realisieren. Wir zeigen zuerst:
Man kann in der e-Matrix
P =
die Elemente e3, e4, . . . so
bereits der erste E. T. der
1 0 0 0...
0 1 e3 e4 . . .
0 0 10...
bestimmen, daß in P -A —C —
zweireihigen Untermatrix
Gi G2 • • •
C21 C22 • •
gleich e wird.
') Vgl. z. B. v. d. W. II, S. 125.