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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0021
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
21
Es seien = (a{1, ai2, . . .) die „Zeilenideale“ von A, p ein
beliebiges Primideal, r 0 sei der Exponent der in e enthaltenen
p-Potenz; dann unterscheiden wir zwei Fälle: a) Geht p in genau
in der r-ten Potenz auf, so unterwerfen wir die ei (i = 3, 4 . . .)
keinerlei Kongruenzbedingung modulo p. b) Geht p in in einer
höheren als der r-ten Potenz auf, so soll durch pr+1 teilbar oder zu
p teilerfremd sein, je nachdem ob eines der Ideale §x, g2, • • • U-i
genau durch pr teilbar ist oder nicht. — Aus b) ergeben sich für die
ei wegen 4= (0) nur endlich viele Kongruenzbedingungen nach
teilerfremden Primidealpotenzen. Man kann daher die auf unend-
lich viele Weisen so wählen, daß diese Bedingungen erfüllt sind;
unter Beachtung der Gleichung e = (§x, g2, • • •) erkennt man dann
mühelos, daß in P • A = C tatsächlich schon die beiden ersten
Zeilen den ersten E. T. e besitzen.
Der Übergang von C zu B vollzieht sich durch hintere Multipli¬
kation mit einer e-Matrix
„gekürzten Spaltenideale“
unter Benutzung der
Q
— (cw c2fc) genau so wie der Über-
ü
1
0
0 .
0
1
0 .
0
ds
1 .
0
d^
0 .
gang von A zu C.
Aus der Tatsache, daß in P und Q die Elemente ei und dk auf
unendlich viel verschiedene Weisen wählbar sind, schließt man noch
leicht: Hat in Satz 4 die Matrix A mindestens den Rang 2, so können
P und Q so bestimmt werden, daß in B die Unterdeterminante
nicht verschwindet. — Satz 7 kann als unmittelbare Verallgemeinerung
von Hilfssatz 1 von § 3 auf angesehen werden. Im Augenblick
ist er für uns nur dadurch von Bedeutung, daß er den Beweis eines
andern, viel wichtigeren Satzes wesentlich vereinfacht:
Satz 5 10). Es sei A = HüJJ (i = 1, . . . zn; k = 1, . . . n) eine
Matrix, die einen Rang r 2 und den ersten E. T. (1) besitzt. Dann
kann man in iß die Elemente zk (k — 1, . . . m) so bestimmen, daß
10) Satz 5 und 6 sind Spezialfälle des allgemeinen Theorems von St. I,
No. 15 S. 333, das etwas umständlichere Rechnung erfordert, weil der (für
uns wegen der Gegenüberstellung mit Hilfssatz 1 von § 3 wichtige) Satz 4
nicht unmittelbar zum Beweis herangezogen werden kann.
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Es seien = (a{1, ai2, . . .) die „Zeilenideale“ von A, p ein
beliebiges Primideal, r 0 sei der Exponent der in e enthaltenen
p-Potenz; dann unterscheiden wir zwei Fälle: a) Geht p in genau
in der r-ten Potenz auf, so unterwerfen wir die ei (i = 3, 4 . . .)
keinerlei Kongruenzbedingung modulo p. b) Geht p in in einer
höheren als der r-ten Potenz auf, so soll durch pr+1 teilbar oder zu
p teilerfremd sein, je nachdem ob eines der Ideale §x, g2, • • • U-i
genau durch pr teilbar ist oder nicht. — Aus b) ergeben sich für die
ei wegen 4= (0) nur endlich viele Kongruenzbedingungen nach
teilerfremden Primidealpotenzen. Man kann daher die auf unend-
lich viele Weisen so wählen, daß diese Bedingungen erfüllt sind;
unter Beachtung der Gleichung e = (§x, g2, • • •) erkennt man dann
mühelos, daß in P • A = C tatsächlich schon die beiden ersten
Zeilen den ersten E. T. e besitzen.
Der Übergang von C zu B vollzieht sich durch hintere Multipli¬
kation mit einer e-Matrix
„gekürzten Spaltenideale“
unter Benutzung der
Q
— (cw c2fc) genau so wie der Über-
ü
1
0
0 .
0
1
0 .
0
ds
1 .
0
d^
0 .
gang von A zu C.
Aus der Tatsache, daß in P und Q die Elemente ei und dk auf
unendlich viel verschiedene Weisen wählbar sind, schließt man noch
leicht: Hat in Satz 4 die Matrix A mindestens den Rang 2, so können
P und Q so bestimmt werden, daß in B die Unterdeterminante
nicht verschwindet. — Satz 7 kann als unmittelbare Verallgemeinerung
von Hilfssatz 1 von § 3 auf angesehen werden. Im Augenblick
ist er für uns nur dadurch von Bedeutung, daß er den Beweis eines
andern, viel wichtigeren Satzes wesentlich vereinfacht:
Satz 5 10). Es sei A = HüJJ (i = 1, . . . zn; k = 1, . . . n) eine
Matrix, die einen Rang r 2 und den ersten E. T. (1) besitzt. Dann
kann man in iß die Elemente zk (k — 1, . . . m) so bestimmen, daß
10) Satz 5 und 6 sind Spezialfälle des allgemeinen Theorems von St. I,
No. 15 S. 333, das etwas umständlichere Rechnung erfordert, weil der (für
uns wegen der Gegenüberstellung mit Hilfssatz 1 von § 3 wichtige) Satz 4
nicht unmittelbar zum Beweis herangezogen werden kann.