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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0022
22
Wolfgang Krull:
Aus Satz 4 und seinem Zusatz ist zu entnehmen, daß Satz 5
nur für den Fall einer quadratischen Matrix
' ail ai2
«21 «22
= d d= 0 bewiesen zu werden braucht u).
«11
«12
«21
«22
mit
Hier bestimme
man in iß zuerst zwei Elemente w1? u2, und darauf ein weiteres
Element w so, daß für bi = ailu1 + ai2u2 (i = 1, 2) die Gleichungen
(b-t, Z>2, d) — (bx + d • w, Z>2) = (1) gelten. Setzt man. dann = u±
+ w ■ a22, z2 = u2 — w ■ a21, so wird a11z1 + a12z2 = btd ■ w = a±,
«21^1 «22-^2 = ^*2 ~ «2 5 («i? «2) = (!■)• Daß u2, w m der ge¬
wünschten Weise gewählt werden können, ergibt sich unmittelbar
aus den elementaren, beim Beweise von Satz 4 benutzten Kon-
gruenzüberlegungen. — Eine Verallgemeinerung von Satz 5 ist
Satz 6 10). Hat A mindestens den Rang 2 und den ersten E. T.
e, und bedeutet (r) ein durch e teilbares Hauptideal, so kann man in
53 die Elemente zk stets so bestimmen, daß («q, a2, • • • «OT) = (r) wird
n
für Ui = ^aikzk.
12
B =
21
Zum Beweise wählen wir das Ideal c = (c1} c2) so, daß die
Gleichung c • e = (r) gilt, und betrachten die Matrix
^11 ^11 ^12 ^12 • / c ■ a c ■ a \
77/77, / Z. D A* 7/ C2 aik\
b2l b21 b22 b22 . bik =-, bik =4- .
Die Matrix B besitzt den gleichen Rang wie A und den ersten
E. T. (1). Nach Satz 5 gibt es daher in 53 2n Elemente uk, u'k,
n
derart daß (61? b2, . . . bm) = (1) wird für b^ =Z^ukbik + ukb'ik).
n
Setzen wir nun zk = cx uk + c2 uk, so wird aik zk — ai = r •bi,
(%, a2, . . . aOT) = (r). — Aus Satz 6 ergibt sich insbesondere:
Hat die Matrix A mindestens den Rang 2 und den ersten E. T. e,
so kann man A stets durch vordere (hintere) Multiplikation mit
einer e-Matrix eine Zeile (Spalte) anhängen, deren größter gemein-
schaftlicher Teiler irgend ein vorgegebenes durch e teilbares Haupt-
ideal (r) ist. — Satz 6 wird uns in § 6 gestatten, eine beliebige Matrix
X1) Man beachte: Ist ||<m|l = \\pik || • IHa- II ' II <lik II > wobei 1] pik 11 und
|| n-Matrizen zzi-ten und zi-ten Grades bedeuten, und ist (ax, a2) = f1)
n
für ctj = + «12^2 > s0 auch (&],... bm) = (1), für G = Uk’
Uk = Qkl^l + 7*2 V
Wolfgang Krull:
Aus Satz 4 und seinem Zusatz ist zu entnehmen, daß Satz 5
nur für den Fall einer quadratischen Matrix
' ail ai2
«21 «22
= d d= 0 bewiesen zu werden braucht u).
«11
«12
«21
«22
mit
Hier bestimme
man in iß zuerst zwei Elemente w1? u2, und darauf ein weiteres
Element w so, daß für bi = ailu1 + ai2u2 (i = 1, 2) die Gleichungen
(b-t, Z>2, d) — (bx + d • w, Z>2) = (1) gelten. Setzt man. dann = u±
+ w ■ a22, z2 = u2 — w ■ a21, so wird a11z1 + a12z2 = btd ■ w = a±,
«21^1 «22-^2 = ^*2 ~ «2 5 («i? «2) = (!■)• Daß u2, w m der ge¬
wünschten Weise gewählt werden können, ergibt sich unmittelbar
aus den elementaren, beim Beweise von Satz 4 benutzten Kon-
gruenzüberlegungen. — Eine Verallgemeinerung von Satz 5 ist
Satz 6 10). Hat A mindestens den Rang 2 und den ersten E. T.
e, und bedeutet (r) ein durch e teilbares Hauptideal, so kann man in
53 die Elemente zk stets so bestimmen, daß («q, a2, • • • «OT) = (r) wird
n
für Ui = ^aikzk.
12
B =
21
Zum Beweise wählen wir das Ideal c = (c1} c2) so, daß die
Gleichung c • e = (r) gilt, und betrachten die Matrix
^11 ^11 ^12 ^12 • / c ■ a c ■ a \
77/77, / Z. D A* 7/ C2 aik\
b2l b21 b22 b22 . bik =-, bik =4- .
Die Matrix B besitzt den gleichen Rang wie A und den ersten
E. T. (1). Nach Satz 5 gibt es daher in 53 2n Elemente uk, u'k,
n
derart daß (61? b2, . . . bm) = (1) wird für b^ =Z^ukbik + ukb'ik).
n
Setzen wir nun zk = cx uk + c2 uk, so wird aik zk — ai = r •bi,
(%, a2, . . . aOT) = (r). — Aus Satz 6 ergibt sich insbesondere:
Hat die Matrix A mindestens den Rang 2 und den ersten E. T. e,
so kann man A stets durch vordere (hintere) Multiplikation mit
einer e-Matrix eine Zeile (Spalte) anhängen, deren größter gemein-
schaftlicher Teiler irgend ein vorgegebenes durch e teilbares Haupt-
ideal (r) ist. — Satz 6 wird uns in § 6 gestatten, eine beliebige Matrix
X1) Man beachte: Ist ||<m|l = \\pik || • IHa- II ' II <lik II > wobei 1] pik 11 und
|| n-Matrizen zzi-ten und zi-ten Grades bedeuten, und ist (ax, a2) = f1)
n
für ctj = + «12^2 > s0 auch (&],... bm) = (1), für G = Uk’
Uk = Qkl^l + 7*2 V