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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0028
28
Wolfgang Krull:
G ■
• G
17 • G *
• y • Cn
= C' die Gleichungen y ■ aly a2, y • a2) = (c1? y ■ c±,
7 • G), d- h- (G, G) = (fli, G) = (<5 ■ an, . . . <5 • aj| = (cx, . . . c„)
gelten. — c) Wegen (cx, c2) = (G, ■ • • G) kann der Übergang von
P - G • ü zu C =
G G
y • g, y • g
durch hintere Multiplikation mit
einer zz-Matrix zzten Grades vollzogen werden.
Beweis von Hilfssatz 217): a) Es seien und o2 aus $ so be-
stimmt, daß für rlk ^Qk ■ c2, r2k = —- Qk • cr die Gleichung (1) -
(Gi, G2 Gi güt. Dann ist nach Satz 3 für ix: i2 = c2: — cx das
Gleichungssystem xx ■ ra + x2 -ri2 = tt (i = 1,2) stets in S5 lösbar.
Ist ferner pr ■ c1 + p2 • c2 = gx • cx + G ’ G, so gdt die Proportion
Pi — Qi: Pz— Q2=cz' — G- Daraus folgt: Es sei <2 = 11^11 eine
feste Matrix zweiten Grades aus M„, die der Gleichung ||cjj ■ Q -
11 ak 11 genügt; dann hat die allgemeinste derartige Matrix die Gestalt:
R = \\Qh + »i • Gi + G • G2, Qi2 + »2 • Gi + G • G2II Ü = ü 2).
Setzen wir q = | <21, Gm
ru Qim
r2l Q-lm
(/, m = 1, 2), so wird
B | — q -f- zzx H2 d~ G ■ s22 zz2 • 5XX v2 • 5X2 •
Da für zzx, u2, vx, v2 beliebige Elemente aus $8 gewählt werden
können, wird Hilfssatz 2 bewiesen sein, wenn es sich zeigt, daß
r = (Hu H2? Gi, G2) — (1) isl- Ist nun P irgend ein Primidealteiler
von r, so darf wegen (rxx, rX2, r21, r22) = (1) etwa rxx p= 0 (p) an-
genommen werden, und aus = rxx ■ q2m — r21 • qAm = 0 (p)
(m = 1, 2) folgt dann q = 0 (p). Das heißt aber: Ist q = ((<?), t)
= (1), so ist sicher auch r = (1).
b) q ist der höchste D. T. der Matrix S = 11 qA qi2 rix ri2|1
(z = 1, 2). Um q = (1) zu beweisen, braucht man daher nach
Satz 3 nur zu zeigen, daß das Gleichungssystem xx ■ <?iX + x2 ■ qi2
+ x3 • qi2 + • qi4= = w^i = 1,2) für beliebige rechte Seiten wx
und w2 in 3} lösbar ist. Wegen (ax, zz2) = (cx, c2) gilt nun (in 31)
bei vorgegebenem wr. w2 eine Gleichung <vx • G + w2 • c2 = sx ' G +
2
G ’ G, wegen ||zzj| = ||gII 'Q ist also ^G(Gi-G +Gä,G) =^iG+ -
w2 c2 ■ Daraus folgt für ti = wt —- sx qir — s2qi2(i = 1, 2) weiter
G : G = G : —G; nach Definition der Elemente ri1e kann man daher sx
und s'2 in iß so wählen, daß = iS- sx qit + s2 qi2 = <sx rix + s2 G2 +
siQn + GG2 Ü — ü 2) wird. — Damit ist der Beweis von Hilfssatz 2
abgeschlossen.
Wolfgang Krull:
G ■
• G
17 • G *
• y • Cn
= C' die Gleichungen y ■ aly a2, y • a2) = (c1? y ■ c±,
7 • G), d- h- (G, G) = (fli, G) = (<5 ■ an, . . . <5 • aj| = (cx, . . . c„)
gelten. — c) Wegen (cx, c2) = (G, ■ • • G) kann der Übergang von
P - G • ü zu C =
G G
y • g, y • g
durch hintere Multiplikation mit
einer zz-Matrix zzten Grades vollzogen werden.
Beweis von Hilfssatz 217): a) Es seien und o2 aus $ so be-
stimmt, daß für rlk ^Qk ■ c2, r2k = —- Qk • cr die Gleichung (1) -
(Gi, G2 Gi güt. Dann ist nach Satz 3 für ix: i2 = c2: — cx das
Gleichungssystem xx ■ ra + x2 -ri2 = tt (i = 1,2) stets in S5 lösbar.
Ist ferner pr ■ c1 + p2 • c2 = gx • cx + G ’ G, so gdt die Proportion
Pi — Qi: Pz— Q2=cz' — G- Daraus folgt: Es sei <2 = 11^11 eine
feste Matrix zweiten Grades aus M„, die der Gleichung ||cjj ■ Q -
11 ak 11 genügt; dann hat die allgemeinste derartige Matrix die Gestalt:
R = \\Qh + »i • Gi + G • G2, Qi2 + »2 • Gi + G • G2II Ü = ü 2).
Setzen wir q = | <21, Gm
ru Qim
r2l Q-lm
(/, m = 1, 2), so wird
B | — q -f- zzx H2 d~ G ■ s22 zz2 • 5XX v2 • 5X2 •
Da für zzx, u2, vx, v2 beliebige Elemente aus $8 gewählt werden
können, wird Hilfssatz 2 bewiesen sein, wenn es sich zeigt, daß
r = (Hu H2? Gi, G2) — (1) isl- Ist nun P irgend ein Primidealteiler
von r, so darf wegen (rxx, rX2, r21, r22) = (1) etwa rxx p= 0 (p) an-
genommen werden, und aus = rxx ■ q2m — r21 • qAm = 0 (p)
(m = 1, 2) folgt dann q = 0 (p). Das heißt aber: Ist q = ((<?), t)
= (1), so ist sicher auch r = (1).
b) q ist der höchste D. T. der Matrix S = 11 qA qi2 rix ri2|1
(z = 1, 2). Um q = (1) zu beweisen, braucht man daher nach
Satz 3 nur zu zeigen, daß das Gleichungssystem xx ■ <?iX + x2 ■ qi2
+ x3 • qi2 + • qi4= = w^i = 1,2) für beliebige rechte Seiten wx
und w2 in 3} lösbar ist. Wegen (ax, zz2) = (cx, c2) gilt nun (in 31)
bei vorgegebenem wr. w2 eine Gleichung <vx • G + w2 • c2 = sx ' G +
2
G ’ G, wegen ||zzj| = ||gII 'Q ist also ^G(Gi-G +Gä,G) =^iG+ -
w2 c2 ■ Daraus folgt für ti = wt —- sx qir — s2qi2(i = 1, 2) weiter
G : G = G : —G; nach Definition der Elemente ri1e kann man daher sx
und s'2 in iß so wählen, daß = iS- sx qit + s2 qi2 = <sx rix + s2 G2 +
siQn + GG2 Ü — ü 2) wird. — Damit ist der Beweis von Hilfssatz 2
abgeschlossen.