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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0031
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
31
Ein einrangiger Modul ist also durch seinen Grundmodul und
seinen E. T. eindeutig bestimmt.
Für Moduln beliebigen Ranges ergibt sich aus den bisherigen
Überlegungen und den Sätzen von §8:
Satz 15. Der Modul mit der Normalbasis von Satz 13 besitzt
den Grundmodul
3)1 — (?/i, • • • Ur—Xi arUr + G + lZ/r + l, ' Mh T ’ G- + 1 ZA' + l) )
((«r, nr+1, ö • ar, ö ■ ar+1) = (!))■
Hat 9)1 die Klasse Ko, so dürfen wir ar+1 = 0, d = uR1 an-
nehmen und erhalten 9)1 = (t/x, . . . yß). —- Ferner zeigt Satz 15:
3)1 und 3)1 haben stets die gleiche Klasse. 3)1 ist dann und nur dann
gleich 3)1 d. h. selbst Grundmodul, wenn jeder E. T. von 3)1 d. h.
wenn der höchste D. T. von 9)1 gleich (1) ist. — Aus der letzten
Bemerkung folgt weiter:
3)1 ist der größte Modul, der 3)1 enthält und dabei denselben Rang
besitzt wie 9)1.
In der Tat, ist die Form l so gewählt, daß 9)1 und 501 + (Z)
denselben Rang haben, so haben 3)1 und 3)1 + (Z) den gleichen Rang
und den gleichen höchsten D. T. (1), nach Satz 3 muß daher l zu
9)1 gehören.
Zwei Grundmoduln 9)1 und 3)1' sollen isomorph heißen, wenn
sie als verallgemeinerte ABELsche Gruppen mit dem Multiplika-
torenbereich 93 21) isomorph sind, d. h. wenn sich ihre Formen
eindeutig umkehrbar so zuordnen lassen, daß gleichzeitig mit l
und Z', m und in' stets auch al + bm, und al' + bm' einander ent-
sprechen. — Isomorphe Grundmoduln haben sicher gleichen Rang.
Wir zeigen jetzt, daß sie auch die gleiche Klasse besitzen müssen.
Es sei zunächst 3)1 irgend ein einrangiger Grundmodul mit der
zweigliedrigen Basis (Z, <5 • Z), Z = axxx + • • • + atlxn. Dann ist
(«!, . . . d •«!,... d ■ aß) = (1) und aus a • Z + b • ö • Z = 0 folgt
a = ö ■ c, b = — c, (ax, . . . aß) ■ (a, b) = (c). Bedeutet daher K die
Klasse von (a, 6), so ist Ä’“1 die Klasse von (a1? . . . aß) und damit von
3)1. Die Klasse von 3)1 ist also durch die zwischen irgend einer zwei-
gliedrigen Basis von 3)1 bestehenden Relationen eindeutig bestimmt,
und daraus folgt sofort, daß jeder zu 501 isomorphe Grundmodul
21) Zum Begriff der verallgemeinerten Abelschen Gruppen mit Mul-
tiplikatorenbereich vgl. z. B. v. d. W. II § 104, S. 109 IT.
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Ein einrangiger Modul ist also durch seinen Grundmodul und
seinen E. T. eindeutig bestimmt.
Für Moduln beliebigen Ranges ergibt sich aus den bisherigen
Überlegungen und den Sätzen von §8:
Satz 15. Der Modul mit der Normalbasis von Satz 13 besitzt
den Grundmodul
3)1 — (?/i, • • • Ur—Xi arUr + G + lZ/r + l, ' Mh T ’ G- + 1 ZA' + l) )
((«r, nr+1, ö • ar, ö ■ ar+1) = (!))■
Hat 9)1 die Klasse Ko, so dürfen wir ar+1 = 0, d = uR1 an-
nehmen und erhalten 9)1 = (t/x, . . . yß). —- Ferner zeigt Satz 15:
3)1 und 3)1 haben stets die gleiche Klasse. 3)1 ist dann und nur dann
gleich 3)1 d. h. selbst Grundmodul, wenn jeder E. T. von 3)1 d. h.
wenn der höchste D. T. von 9)1 gleich (1) ist. — Aus der letzten
Bemerkung folgt weiter:
3)1 ist der größte Modul, der 3)1 enthält und dabei denselben Rang
besitzt wie 9)1.
In der Tat, ist die Form l so gewählt, daß 9)1 und 501 + (Z)
denselben Rang haben, so haben 3)1 und 3)1 + (Z) den gleichen Rang
und den gleichen höchsten D. T. (1), nach Satz 3 muß daher l zu
9)1 gehören.
Zwei Grundmoduln 9)1 und 3)1' sollen isomorph heißen, wenn
sie als verallgemeinerte ABELsche Gruppen mit dem Multiplika-
torenbereich 93 21) isomorph sind, d. h. wenn sich ihre Formen
eindeutig umkehrbar so zuordnen lassen, daß gleichzeitig mit l
und Z', m und in' stets auch al + bm, und al' + bm' einander ent-
sprechen. — Isomorphe Grundmoduln haben sicher gleichen Rang.
Wir zeigen jetzt, daß sie auch die gleiche Klasse besitzen müssen.
Es sei zunächst 3)1 irgend ein einrangiger Grundmodul mit der
zweigliedrigen Basis (Z, <5 • Z), Z = axxx + • • • + atlxn. Dann ist
(«!, . . . d •«!,... d ■ aß) = (1) und aus a • Z + b • ö • Z = 0 folgt
a = ö ■ c, b = — c, (ax, . . . aß) ■ (a, b) = (c). Bedeutet daher K die
Klasse von (a, 6), so ist Ä’“1 die Klasse von (a1? . . . aß) und damit von
3)1. Die Klasse von 3)1 ist also durch die zwischen irgend einer zwei-
gliedrigen Basis von 3)1 bestehenden Relationen eindeutig bestimmt,
und daraus folgt sofort, daß jeder zu 501 isomorphe Grundmodul
21) Zum Begriff der verallgemeinerten Abelschen Gruppen mit Mul-
tiplikatorenbereich vgl. z. B. v. d. W. II § 104, S. 109 IT.