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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0033
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw. 33
modul k finden, der den Gleichungen 9k* = 9k + 91, 9k 9c = (0)
genügt.
Die Eindeutigkeitsbehauptung von Satz 17 ist gruppentheo-
retisch trivial. Was den Existenzbeweis für 91 angeht, so behandeln
wir zuerst den Fall, daß 9k* = (xx, cc2) = (yx, y2) zweirangig und
9k = (a1y1 + a2y2, ö ■ a1y1 + ö ■ a2y2) einrangig ist. Es sei
(r) = (an (?2) • (cx, c2) irgend ein durch (a-^ a2) teilbares Hauptideal,
und es seien cx und c2 gerade so gewählt, daß r = ax c2 — a2 ■ cx
wird. Setzen wir dann 9c = (cx?/i + c2y2, y • cpy-t + y • c2y2) mit
(cx, c2, y • cx, y • e2) = (1), so ist k ein Grundmodul und es ist
(r, ö ■ r, y • r, <5 • y • r) — (1) der zweite und höchste D. T. von
9k + 91. In Anbetracht von Satz 3 und der Tatsache, daß zwei
einrangige Grundmoduln identisch sind, wenn sie eine von 0 ver-
schiedene Form gemeinsam haben, muß daher 9k* ==9k + k,
9k k = (0) sein.
Es seien nun n und r (r < n) die allgemein gewählten Rang-
zahlen von 9k* = (.rx, . . . xn) = (z/x, . . . yn) und 9k = (yr, . • . yr_x,
aryr + ar+1yr+1, ö ■ aryr + ö ■ ar+1yr+1). Bestimmen wir dann nach
dem bereits Bewiesenen den Modul kxso,daßfür9kx = (aryrA~ ar+1yr+ly
ö ■ aryr-\- ö ■ ar+1yr+1)fffl* = (yr, yr+1) die Gleichungen9kx + kx — 9k*,
9kxr' kx — (0) gelten, und setzen wir 9k — (yx, . . . ?/r_x) + 9kx,
k = kx + (?/z+2, . . . vJ, so wird ® + k-9k*,9k~k- (0).
§ 10. Endliche Restgruppen und Moduläquivalenz.
Nach einer Bemerkung von § 9 haben ein Modul 9k und sein
Grundmodul 9k stets dieselbe Klasse. Aus Satz 16 ergibt sich daher:
Zwei Moduln 9k und 9k' besitzen dann und nur dann den gleichen
Rang und die gleiche Klasse, wenn ihre Grundmoduln 9k und 9kA
(als verallgemeinerte Abelsche Gruppen} isomorph sind. — Wir zeigen
jetzt weiter, daß auch die E. T.-Gleichheit zweier Moduln auf die
Isomorphie gewisser verallgemeinerter Abelscher Gruppen zurück-
geführt werden kann.
Es sei 9k ein fest vorgegebener Untermodul von 9k* = (crx, . . . xn}.
Dann sollen zwei Elemente l und m aus 9k* „modulo 9k kongruent“
heißen, wenn die Differenz l — m zu 9k gehört, und es soll unter
einer Restklasse l die Gesamtheit aller der Formen aus 9k* ver-
standen werden, die einer festen Form l modulo 9k kongruent sind;
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modul k finden, der den Gleichungen 9k* = 9k + 91, 9k 9c = (0)
genügt.
Die Eindeutigkeitsbehauptung von Satz 17 ist gruppentheo-
retisch trivial. Was den Existenzbeweis für 91 angeht, so behandeln
wir zuerst den Fall, daß 9k* = (xx, cc2) = (yx, y2) zweirangig und
9k = (a1y1 + a2y2, ö ■ a1y1 + ö ■ a2y2) einrangig ist. Es sei
(r) = (an (?2) • (cx, c2) irgend ein durch (a-^ a2) teilbares Hauptideal,
und es seien cx und c2 gerade so gewählt, daß r = ax c2 — a2 ■ cx
wird. Setzen wir dann 9c = (cx?/i + c2y2, y • cpy-t + y • c2y2) mit
(cx, c2, y • cx, y • e2) = (1), so ist k ein Grundmodul und es ist
(r, ö ■ r, y • r, <5 • y • r) — (1) der zweite und höchste D. T. von
9k + 91. In Anbetracht von Satz 3 und der Tatsache, daß zwei
einrangige Grundmoduln identisch sind, wenn sie eine von 0 ver-
schiedene Form gemeinsam haben, muß daher 9k* ==9k + k,
9k k = (0) sein.
Es seien nun n und r (r < n) die allgemein gewählten Rang-
zahlen von 9k* = (.rx, . . . xn) = (z/x, . . . yn) und 9k = (yr, . • . yr_x,
aryr + ar+1yr+1, ö ■ aryr + ö ■ ar+1yr+1). Bestimmen wir dann nach
dem bereits Bewiesenen den Modul kxso,daßfür9kx = (aryrA~ ar+1yr+ly
ö ■ aryr-\- ö ■ ar+1yr+1)fffl* = (yr, yr+1) die Gleichungen9kx + kx — 9k*,
9kxr' kx — (0) gelten, und setzen wir 9k — (yx, . . . ?/r_x) + 9kx,
k = kx + (?/z+2, . . . vJ, so wird ® + k-9k*,9k~k- (0).
§ 10. Endliche Restgruppen und Moduläquivalenz.
Nach einer Bemerkung von § 9 haben ein Modul 9k und sein
Grundmodul 9k stets dieselbe Klasse. Aus Satz 16 ergibt sich daher:
Zwei Moduln 9k und 9k' besitzen dann und nur dann den gleichen
Rang und die gleiche Klasse, wenn ihre Grundmoduln 9k und 9kA
(als verallgemeinerte Abelsche Gruppen} isomorph sind. — Wir zeigen
jetzt weiter, daß auch die E. T.-Gleichheit zweier Moduln auf die
Isomorphie gewisser verallgemeinerter Abelscher Gruppen zurück-
geführt werden kann.
Es sei 9k ein fest vorgegebener Untermodul von 9k* = (crx, . . . xn}.
Dann sollen zwei Elemente l und m aus 9k* „modulo 9k kongruent“
heißen, wenn die Differenz l — m zu 9k gehört, und es soll unter
einer Restklasse l die Gesamtheit aller der Formen aus 9k* ver-
standen werden, die einer festen Form l modulo 9k kongruent sind;
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