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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0036
36
Wolfgang Krull:
gegriffene Gruppenkette 9l15 9I2, . . ., bei der 9Ii+1 stets eine Ober-
gruppe bzw. Untergruppe von 9({ darstellt, immer nur endlich viele
verschiedene Glieder enthält. Unter dem D-Satz (Doppelsatz)
verstehen wir O-Satz und U-Satz zusammengenommen 26).
Satz 20. In einer Gruppe 91 gilt dann und nur dann der O-Satz
bzw. D-Satz, wenn 91 zu einer Restgruppe bzw. zu einer endlichen
Restgruppe 9T/9T isomorph ist.
Der Beweis von Satz 20 ergibt sich aus elementaren gruppen-
theoretischen Überlegungen. Man beachte insbesondere: a) In
gilt der NoETHERsche Teilerkettensatz, b) Wegen der Gültigkeit
des Teilerkettensatzes in 53 gilt in 91 der O-Satz dann und nur dann,
wenn man alle Elemente aus 91 als Linearformen in endlich viel
festen Elementen mit Koeffizienten aus 93 darstellen kann, c) Ent-
hält 91 ein Element der Ordnung (0), so gilt in 91 sicher nicht der
U-Satz. d) Daß in einer endlichen Restgruppe 9JI/9T der U-Satz
gilt, folgt aus der Zerlegbarkeit einer derartigen Gruppe in endlich
viel direkte zyklische Summanden. — Bezeichnen wir der Kürze
halber eine zu einer (endlichen) Restgruppe bzw. Zu einem Grund-
modul isomorphe Gruppe selbst als (endliche) Restgruppe bzw.
als Grundmodul, so können wir feststellen:
Satz 21. Eine Gruppe 91, in der der O-Satz gilt, ist die direkte
Summe einer eindeutig bestimmten endlichen Restgruppe und eines
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Grundmoduls.
Die Eindeutigkeitsbehauptung von Satz 21 ist trivial, da bei
der beschriebenen Zerlegung von 91 die endliche Restgruppe aus
allen Elementen mit von (0) verschiedener Ordnung bestehen muß.
Um die Existenz der Zerlegung nachzuweisen, fassen wir 91 nach
Satz 20 als Restgruppe 911*/^ auf und bezeichnen mit 9T den Grund-
modul von 9T, mit einen nach Satz 17 vorhandenen, der Gleichung
9JI* = 9p _j_ 92 genügenden komplementären Grundmodul von 9X
Dann wird = 9T/9k -j- 9^/991, und es ist dabei 9T/9.T nach § 10
eine endliche Restgruppe, während 91/991 zu 91 isomorph sein muß,
26) Zu den Kettensätzen, sowie zum Isomorphiesatz der direkten Zer-
legung vgl.: W. Krull, Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen,
Math. Zeitschrift 23 (1925), sowie: O. Schmidt, Über unendliche Gruppen mit
endlicher Kette, Math. Zeitschrift 29 (1928). — Zum Beweis von Satz 20 vgl.
auch: E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-
und Funktionenkörpern, Math. Annalen 96 (1926).
Wolfgang Krull:
gegriffene Gruppenkette 9l15 9I2, . . ., bei der 9Ii+1 stets eine Ober-
gruppe bzw. Untergruppe von 9({ darstellt, immer nur endlich viele
verschiedene Glieder enthält. Unter dem D-Satz (Doppelsatz)
verstehen wir O-Satz und U-Satz zusammengenommen 26).
Satz 20. In einer Gruppe 91 gilt dann und nur dann der O-Satz
bzw. D-Satz, wenn 91 zu einer Restgruppe bzw. zu einer endlichen
Restgruppe 9T/9T isomorph ist.
Der Beweis von Satz 20 ergibt sich aus elementaren gruppen-
theoretischen Überlegungen. Man beachte insbesondere: a) In
gilt der NoETHERsche Teilerkettensatz, b) Wegen der Gültigkeit
des Teilerkettensatzes in 53 gilt in 91 der O-Satz dann und nur dann,
wenn man alle Elemente aus 91 als Linearformen in endlich viel
festen Elementen mit Koeffizienten aus 93 darstellen kann, c) Ent-
hält 91 ein Element der Ordnung (0), so gilt in 91 sicher nicht der
U-Satz. d) Daß in einer endlichen Restgruppe 9JI/9T der U-Satz
gilt, folgt aus der Zerlegbarkeit einer derartigen Gruppe in endlich
viel direkte zyklische Summanden. — Bezeichnen wir der Kürze
halber eine zu einer (endlichen) Restgruppe bzw. Zu einem Grund-
modul isomorphe Gruppe selbst als (endliche) Restgruppe bzw.
als Grundmodul, so können wir feststellen:
Satz 21. Eine Gruppe 91, in der der O-Satz gilt, ist die direkte
Summe einer eindeutig bestimmten endlichen Restgruppe und eines
bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Grundmoduls.
Die Eindeutigkeitsbehauptung von Satz 21 ist trivial, da bei
der beschriebenen Zerlegung von 91 die endliche Restgruppe aus
allen Elementen mit von (0) verschiedener Ordnung bestehen muß.
Um die Existenz der Zerlegung nachzuweisen, fassen wir 91 nach
Satz 20 als Restgruppe 911*/^ auf und bezeichnen mit 9T den Grund-
modul von 9T, mit einen nach Satz 17 vorhandenen, der Gleichung
9JI* = 9p _j_ 92 genügenden komplementären Grundmodul von 9X
Dann wird = 9T/9k -j- 9^/991, und es ist dabei 9T/9.T nach § 10
eine endliche Restgruppe, während 91/991 zu 91 isomorph sein muß,
26) Zu den Kettensätzen, sowie zum Isomorphiesatz der direkten Zer-
legung vgl.: W. Krull, Über verallgemeinerte endliche Abelsche Gruppen,
Math. Zeitschrift 23 (1925), sowie: O. Schmidt, Über unendliche Gruppen mit
endlicher Kette, Math. Zeitschrift 29 (1928). — Zum Beweis von Satz 20 vgl.
auch: E. Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-
und Funktionenkörpern, Math. Annalen 96 (1926).