Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

38 Wolfgang Krull: Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.

von W. Dann ist 9JI* = (zj -j- (z2) = 90? + SR; Cu), (rr2),9Jl, 2?
sind als einrangige Moduln direkt unzerlegbar, und es ist 90? nach
Satz 16 weder zu (rrj noch zu (rr2) isomorph. — Satz 22 ist für die
Gruppenaxiomatik von großer Bedeutung, denn an und für sich
lag der Gedanke sehr nahe, daß der Isomorphiesatz der direkten
Zerlegung aus dem O-Satz allein herleitbar sein müsse.
Leider ist es nicht möglich, auch noch für die Unabhängigkeit
des Isomorphiesatzes vom U-Satz im Bereich der Gruppen mit
dem Multiplikatorenbereich 23 ein Beispiel zu finden. Gilt nämlich
in einer solchen Gruppe 91 der U-Satz, so besitzt nicht nur jedes
Element von 21 eine von (0) verschiedene Ordnung, sondern man
kann sogar in $ endlich viel Primideale hi? • • • Pm so bestimmen,
daß die Ordnung jedes Elements von 21 ein Potenzprodukt der bi
darstellt; daraus folgt aber, daß für 21 an Stelle von 23 auch der
Hauptidealring 23Pi Pn als Multiplikatorenbereich gewählt werden
kann. — Die Frage nach der Unabhängigkeit des Isomorphiesatzes
der direkten Zerlegung vom U-Satz muß also hier unbeantwortet
bleiben.