Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Einleitung.
Über Bewegungsgruppen und Raumeinteilungen im hyper-
bolischen Raum ist im Artikel III, A. B. 12 (Polyeder und Raum-
einteilungen) der Mathemat. Encyklopädie berichtet, a. a. 0. Nr. 54.
Doch scheinen die i. F. mitgeteilten Polyederbeziehungen noch
nicht bekannt zu sein. Sie dienen hier übrigens nur als Ausgangs-
punkt einer Betrachtung, die aus jedem Polyeder der einen Geo-
metrie eins der andern herleitet. Wir wollen Körper und Polygone
beider Raumformen als konjugiert zu einander bezeichnen, wenn
die Kanten und Seiten der sph. Gebilde die Komplemente zu den
Parallelwinkeln der Kanten und Seiten der hyperb. sind.
Diese Methode, eine Verbindung zwischen beiden Räumen
herzustellen, ist zwar nicht so umfassend wie der bekannte imaginäre
Übergang, aber sie scheint doch eine prinzipielle Bedeutung zu
besitzen, denn auch beim allgemeinen Dreieck entstehen auf diese
Weise einfache Beziehungen zwischen den Winkeln der beiden
Figuren. Daß dies auch beim allgemeinen Viereck der Fall ist, wird
sich im letzten Abschnitt dieser Arbeit erweisen.

§ 1. Konjugierte reguläre Vielecke.
Da die regulären Körper von regulären Polygonen begrenzt
sind, so seien zunächst für diese die Winkelbeziehungen hergeleitet.
Im Interesse des kürzeren Ausdrucks soll i. F. stets das Komple-
ment des Lobatschefski jschen Parallelwinkels als Parallelwinkel
(Pw.) bezeichnet werden. Außerdem sollen die sph. Strecken immer
den Index 1 erhalten. Sie sind also mit den entsprechenden hyper-
bolischen verbunden durch die
... 1
(1) cos a-, = —j—
ch a
Für die halben Seiten lautet die

Gleichung:
=^-_zr(a)j
Beziehung:

(2)


|/ ch a'



, a
'*■2
]/ ch a ’

+ Ö1 X, «
tg -2 = th 2 .