Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

Alle Gleichungen bleiben natürlich richtig, wenn die hyp.
Größen durch die sphärischen ersetzt werden und umgekehrt.
In den beiden Ebenen gelten für das reguläre zz-Eck die Glei-
chungen :


und für die ganzen Winkel:

(5)

cos A + cos

= —2



Das arithmetische Mittel der Cosinus konjugierter Vieleckswinkel
ist gleich dem Cosinus des euklidischen Vieleckswinkels. Werden
die Seiten der nichteuklidischen Vielecke unendlich klein, so werden
die Winkel gleich und Gleichung 5 zeigt, daß sie dann dem eukli-
dischen Winkel gleich werden. Da cos — sich leicht aus der Summe
n
von cos — + i sin — und cos —-i sin — mit Hilfe des Einheits-
n n n n
kreises darstellen läßt, so sind 2 und leicht aus einander zu
konstruieren.
Aus Rechnung und Zeichnung folgt, daß nur für n — 5 zum
polaren sph. Fünfeck (Pentagramma mirificum) ein rechtwinkliges
hyp. Vieleck gehört. Zum rechtwinkligen Sechseck gehört der in
sechs gleiche Teile geteilte Kreis.

§ 2. Konjugierte Polyeder.
Es sei m die Anzahl der an einer Ecke zusammenstoßenden
Flächen, n die Seitenzahl einer Fläche, 7?, r und q die Radien der
drei Kugeln (durch Ecken, Kanten und die einbeschriebene Kugel),
k der Flächenwinkel an einer Kante und a und 2 Seite und Winkel
einer Begrenzungsfläche. Beschreibt man um eine Ecke eine Kugel,
so wird ein sph. m — Eck heraus geschnitten, dessen Seiten die
Vieleckswinkel sind, dessen Umkreisradius der Winkel zwischen R
und a ist. Im sph. Raum ergeben sich dann die Gleichungen: