Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

Es ergibt sich jetzt auch ein Zusammenhang der hyp. Körper
mit den euklidischen, wenn wir die Körper im sph. Raum so groß
wie möglich annehmen, denn dann wird R = —, und ihre Ober-
fläche bedeckt gerade die sph. Ebene, vom euklidischen Standpunkt
aufgefaßt die Kugel, und diese Kugeleinteilung gibt die euklidischen
Polyeder. Aus dem Formelsystem 1 folgt, daß für
.... ■ a-, 1
(11) sm^-.

wirklich


wird, denn es ist:

dann:

1

Dodekaeder

ist der Reihe nach

cos ax

7t
sm -

O 9 ‘ 2
2 cos2-sm- -
n m

sin = 1

• 9 71
sm2 —
m

1 , a-, B
— n , also cos -H- = —-
b 2 A

%
cos -
77

2?r
also aus Gl. 3: 2, = - und aus Gl. 5 :
m
Aus dem System II folgt

_ 1
sh R = \/ch a = ~j= w°bei
]/cos a±
sh r — sin = 1,
, • k
sh o = sm
Für Hexaeder, Ikosaeder,
1 - 3
ch a =-= 3; 1/5; - , sodaß diese drei Strecken in beiden
cosdj ’r j/5
Geometrieen zusammen die Seiten eines rechtwinkl. Dreiecks bilden.

a± 1

Für das Oktaeder ist cha — oo, für das Tetraeder aber ist da ax
stumpfist {cha — — 3, also negativ) kein hyp. Gegenstück vorhanden.
Diese Feststellung ist wichtig, denn sie zeigt, daß der Rereich
der hyp. Tetraeder kleiner ist als der der sph., für die drei letzten
Körper ist der Bereich größer, für die Oktaeder aber sind die Be-
reiche in beiden Raumformen gleich. Es gehört zu jedem hyp.
Oktaeder ein sph., die Kanten wachsen im ersten Fall von 0 bis oo,
im zweiten Fall von 0 bis •
Hyperbolische Polyeder mit unendlich langer Kante1. Für
diese sind die Flächen nullwinklig, aus Gl. 4 folgt daher; da
2 2%
cos ä = 1 : k = a-.
2 m