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https://doi.org/10.11588/diglit.43639#0007
Über die nichteuklidischen regulären Polyeder
7
Die Kantenwinkel sind gleich den euklidischen Vielecks-
winkeln, wie es auch sein muß, denn eine Ecke mit parallelen Kanten
schneidet aus der Grenzkugel Dreiecke mit der Winkelsumme n
heraus. Diesen Körpern entsprechen, wie schon aus dem vorigen
hervorgeht nur im Fall des Oktaeders und Tetraeders sph. Körper,
denn nur für sie bleibt, wenn ar = sin R < 1.
Das Tetraeder muß einer besonderen Betrachtung unterzogen
• • JK 'd C
werden. Dem nullwinkligen entspricht das sph.mitl?! =-y; rr =
p = • A = K — Wenn man dieses an einer seiner Seiten-
1 6 2
flächen spiegelt, so entsteht ein singulärer regulärer Körper, dessen
TT
drei Kanten gleich %, dessen Flächenwinkel k = sind. Die Seiten-
flächen sind Zweiecke mit dem Winkel Bilden wir noch mehr solche
Körper, indem wir statt den Zweiecken den Winkel geben,
so entsteht eine Reihe von Körpern, die etwa dem von Klein als
sechsten regulären bezeichneten Dieder entspricht. Während jetzt
alle hyp. Tetraeder einem sph. zugeordnet sind, ist es umgekehrt
TT
nicht der Fall, denn/?! kann noch wachsen bis Erst dann haben
Zi
wir wieder die Überdeckung der sph. Ebene, die Seitenfläche wird
.2%
ein Dreieck mit dem Winkel -g-. Stumpfwinkligen Dreiecken ent-
sprechen aber, wie früher gezeigt x) rechtwinklige Sechsecke. Rücken
die Kanten des nullw. Tetraeders noch weiter auseinander, so er-
halten je zwei Kanten ein gemeinsames Lot, jede Ecke des Tetraeders
wird abgestumpft und bildet ein gleichseitiges Dreieck. Den so von
vier rechtwinkl. Sechsecken und vier Dreiecken begrenzten Körper
kann man zwar nicht mehr regulär nennen, aber er bildet die na-
türliche Fortsetzung der Tetraederreihe, wenn die Kanten immer
weiter auseinander rücken. Dem größten sph. Tetraeder (Ebene)
entspricht also ein Körper mit zwei verschiedenen Arten von
Flächen.
Damit wären die sph. Tetraeder aufgebraucht, nicht so die
hyp., denn wir können uns den Prozeß weiter fortgesetzt denken.
*) Roeser: der reelle Übergang zwischen dem nichteuklidischen Geome-
trien. Heidelb. Berichte 1926.
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Die Kantenwinkel sind gleich den euklidischen Vielecks-
winkeln, wie es auch sein muß, denn eine Ecke mit parallelen Kanten
schneidet aus der Grenzkugel Dreiecke mit der Winkelsumme n
heraus. Diesen Körpern entsprechen, wie schon aus dem vorigen
hervorgeht nur im Fall des Oktaeders und Tetraeders sph. Körper,
denn nur für sie bleibt, wenn ar = sin R < 1.
Das Tetraeder muß einer besonderen Betrachtung unterzogen
• • JK 'd C
werden. Dem nullwinkligen entspricht das sph.mitl?! =-y; rr =
p = • A = K — Wenn man dieses an einer seiner Seiten-
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flächen spiegelt, so entsteht ein singulärer regulärer Körper, dessen
TT
drei Kanten gleich %, dessen Flächenwinkel k = sind. Die Seiten-
flächen sind Zweiecke mit dem Winkel Bilden wir noch mehr solche
Körper, indem wir statt den Zweiecken den Winkel geben,
so entsteht eine Reihe von Körpern, die etwa dem von Klein als
sechsten regulären bezeichneten Dieder entspricht. Während jetzt
alle hyp. Tetraeder einem sph. zugeordnet sind, ist es umgekehrt
TT
nicht der Fall, denn/?! kann noch wachsen bis Erst dann haben
Zi
wir wieder die Überdeckung der sph. Ebene, die Seitenfläche wird
.2%
ein Dreieck mit dem Winkel -g-. Stumpfwinkligen Dreiecken ent-
sprechen aber, wie früher gezeigt x) rechtwinklige Sechsecke. Rücken
die Kanten des nullw. Tetraeders noch weiter auseinander, so er-
halten je zwei Kanten ein gemeinsames Lot, jede Ecke des Tetraeders
wird abgestumpft und bildet ein gleichseitiges Dreieck. Den so von
vier rechtwinkl. Sechsecken und vier Dreiecken begrenzten Körper
kann man zwar nicht mehr regulär nennen, aber er bildet die na-
türliche Fortsetzung der Tetraederreihe, wenn die Kanten immer
weiter auseinander rücken. Dem größten sph. Tetraeder (Ebene)
entspricht also ein Körper mit zwei verschiedenen Arten von
Flächen.
Damit wären die sph. Tetraeder aufgebraucht, nicht so die
hyp., denn wir können uns den Prozeß weiter fortgesetzt denken.
*) Roeser: der reelle Übergang zwischen dem nichteuklidischen Geome-
trien. Heidelb. Berichte 1926.