DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43639#0008
Ernst Roeser:
Die Dreieckskanten werden immer länger, die Dreiecke werden
schließlich nullwinklig, ebenso gehen die Sechsecke in nullwinklige
Dreiecke über. Es ist auf diese Weise das Oktaeder mit unendlichen
Kanten entstanden. Die Menge der zuletzt beschriebenen Körper
hat im sph. Raum kein Analagon.
Zuordnung Kleinscher Fundamentalbereiche.
Die Zuordnung der Polyeder beruht auf der Möglichkeit, zu
jedem regulären Polygon der einen Geometrie eins der andern zu
bestimmen, dadurch daß man Seiten und Winkel durch die Glei-
chungen 1 und 5 von § 1 aus einander bestimmt. Wie früher gezeigt,
lassen sich aber auch allgemeine Dreiecke aus einander ableiten,
wenn man Gl. 1 beibehält, Gl. 5 aber durch cos K = C2S3 usw>
ch a
ersetzt. Für a — b = c folgt natürlich die Gleichung 5 für n = 3,
d. h. cos A + cos = 1
Im Fall rechtwinkliger Dreiecke vereinfacht sich die Winkel-
beziehung dahin, daß die Winkel beider Dreiecke Komplemente
werden, die in bezug auf die Seiten ihre Lage vertauschen. Solche
konjugierten Dreiecke haben die gleiche Abweichung von n und
damit gleichen Flächeninhalt.
Die Zerlegung der Kugel, wie sie Klein bei den automorphen
Funktionen anwendet, führt bei Oktaeder und Tetraeder zu Drei-
% 7t 7t 7t 7t 7t
ecken mit den Winkeln y -y und -y -y. Die konjugierten Drei-
7t 7t 7t 7t 7t 7t
ecke mit den Winkeln und -o- schließen sich zum recht-
2 6 4 2 6 6
winkligen Sechseck und zum Sechseck mit der Winkelsumme 2zr, sie
bedecken also die hyperbolische Ebene. Da die gleichseitigen Dreiecke
bei derOktaeder- und Tetraedereinteilung einerseits und die Sechsecke
andererseits komplementäre Umkreisradien haben, kann man die
entsprechenden Figuren leicht auseinander konstruieren. Legen
wir um den Mittelpunkt M der Sechsecke eine Kugel und errichten in
den Eckpunkten dieser Figuren Lote auf der Ebene, so schneiden
die durch M gezogenen hyp. Parallelen zu diesen Loten die Kugel
in den Endpunkten der entsprechenden sph. Figur. Im Sechseck ist
jedesmal eine Ecke zu überspringen.
Die Diedereinteilung 4y führt auf -Q-, 0,-— und da¬
mit auf die nullwinkligen Polygone. Ist -- ein ganzer Teil
Die Dreieckskanten werden immer länger, die Dreiecke werden
schließlich nullwinklig, ebenso gehen die Sechsecke in nullwinklige
Dreiecke über. Es ist auf diese Weise das Oktaeder mit unendlichen
Kanten entstanden. Die Menge der zuletzt beschriebenen Körper
hat im sph. Raum kein Analagon.
Zuordnung Kleinscher Fundamentalbereiche.
Die Zuordnung der Polyeder beruht auf der Möglichkeit, zu
jedem regulären Polygon der einen Geometrie eins der andern zu
bestimmen, dadurch daß man Seiten und Winkel durch die Glei-
chungen 1 und 5 von § 1 aus einander bestimmt. Wie früher gezeigt,
lassen sich aber auch allgemeine Dreiecke aus einander ableiten,
wenn man Gl. 1 beibehält, Gl. 5 aber durch cos K = C2S3 usw>
ch a
ersetzt. Für a — b = c folgt natürlich die Gleichung 5 für n = 3,
d. h. cos A + cos = 1
Im Fall rechtwinkliger Dreiecke vereinfacht sich die Winkel-
beziehung dahin, daß die Winkel beider Dreiecke Komplemente
werden, die in bezug auf die Seiten ihre Lage vertauschen. Solche
konjugierten Dreiecke haben die gleiche Abweichung von n und
damit gleichen Flächeninhalt.
Die Zerlegung der Kugel, wie sie Klein bei den automorphen
Funktionen anwendet, führt bei Oktaeder und Tetraeder zu Drei-
% 7t 7t 7t 7t 7t
ecken mit den Winkeln y -y und -y -y. Die konjugierten Drei-
7t 7t 7t 7t 7t 7t
ecke mit den Winkeln und -o- schließen sich zum recht-
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winkligen Sechseck und zum Sechseck mit der Winkelsumme 2zr, sie
bedecken also die hyperbolische Ebene. Da die gleichseitigen Dreiecke
bei derOktaeder- und Tetraedereinteilung einerseits und die Sechsecke
andererseits komplementäre Umkreisradien haben, kann man die
entsprechenden Figuren leicht auseinander konstruieren. Legen
wir um den Mittelpunkt M der Sechsecke eine Kugel und errichten in
den Eckpunkten dieser Figuren Lote auf der Ebene, so schneiden
die durch M gezogenen hyp. Parallelen zu diesen Loten die Kugel
in den Endpunkten der entsprechenden sph. Figur. Im Sechseck ist
jedesmal eine Ecke zu überspringen.
Die Diedereinteilung 4y führt auf -Q-, 0,-— und da¬
mit auf die nullwinkligen Polygone. Ist -- ein ganzer Teil